2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.2 平面直

第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解两点的距离公式及中点公式的推导方法．2．掌握两点的距离公式及中点公式．3．体会坐标法在研究几何问题中的作用.1．两点的距离公式已知平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝________________________.特殊形式：(1)若B点为原点，则d(A，B)＝________.(2)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，则d(A，B)＝________.(3)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，则d(A，B)＝________.x2－x12＋y2－y12x21＋y21|x2－x1||y2－y1|2．中点公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝________，y＝________.这就是线段中点坐标的计算公式，简称__________．x1＋x22y1＋y22中点公式1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8B．0或－8C．0或6D．0或－6解析：|AB|＝－3－02＋4－b2＝5，∴b＝0或b＝8，故选A．答案：A2．若A(1,5)，B(2,3)，C(3,1)，点D是AB的中点，则d(C，D)＝________.解析：xD＝1＋22＝32，yD＝5＋32＝4，∴d(C，D)＝3－322＋1－42＝352.答案：3523．已知点A(x,5)关于点M(2，y)的对称点是B(1,3)，则xy＝________.解析：由题可得x＋12＝2，5＋32＝y，∴x＝3，y＝4，∴xy＝12.答案：12典例精析规律总结课堂互动探究1两点的距离公式类型(1)已知点A(a,3)，B(3,3a＋3)，|AB|＝5，求a；(2)已知点A(5,12)，若点P在y轴上，且|PA|＝13，求P到原点的距离．【解】(1)由|AB|＝5，可得a－32＋3－3a－32＝5，即5a2－3a－8＝0，解得a＝85或a＝－1.(2)因为点P在y轴上，可设P点的坐标为(0，y)，则由|PA|＝13得5－02＋12－y2＝13，∴(y－12)2＝144，∴y＝0或y＝24.∴P到原点的距离为0或24.【知识点拨】两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题，根据条件直接代入公式即可，要注意公式的变形，以及公式中两点的位置没有先后之分．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|＝2|AC|，则C点坐标为()A．(－1,1)B．(－1,1)或(5，－1)C．(－1,1)或(1,3)D．无数多个解析：设C(x，y)，则2x－22＋y2＝4－22＋2－02，∴(x－2)2＋y2＝2，∴满足|AB|＝2|AC|的点C有无数多个．答案：D已知□ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线的交点为E(－3,4)，求另外两个顶点C，D的坐标．【分析】平行四边形的对角线互相平分，交点为两个相对顶点的中点，利用中点坐标公式求．【解】设C(x1，y1)，D(x2，y2)．∵E为AC的中点，∴－3＝x1＋42，4＝y1＋22.解得x1＝－10，y1＝6.又∵E为BD的中点，∴－3＝5＋x22，4＝7＋y22.解得x2＝－11，y2＝1.∴C的坐标为(－10,6)，D点的坐标为(－11,1)．【知识点拨】若M(x，y)是A(a，b)与B(c，d)的中点，则x＝a＋c2，y＝b＋d2.也可理解为A关于M的对称点为B，若求B，则可用变形公式c＝2x－a,d＝2y－b.设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(－1,2)，则|PQ|＝________.解析：设P(a,0)，Q(0，b)，由中点坐标公式，得a＋02＝－1，0＋b2＝2，∴a＝－2，b＝4，∴|PQ|＝a2＋b2＝25.答案：252坐标法的应用类型△ABD和△BCE是边AB，BC在直线AC上且位于直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|.【分析】这是一个初中几何常见的证明题，题目中明确要求用坐标法进行证明，这就要先建系、设点的坐标，再进行运算证明．【证明】如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(－a,0)，Ec2，3c2，C(c,0)，D－a2，3a2，于是|AE|＝c2－－a2＋32c－02＝a2＋ac＋c24＋3c24＝a2＋ac＋c2，|CD|＝－a2－c2＋32a－02＝a24＋ac＋c2＋3a24＝a2＋ac＋c2.∴|AE|＝|CD|.已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：2|AM|＝|BC|.证明：如图，建立直角坐标系，设点B，C的坐标分别是(b,0)，(0，c)，因为点M是BC的中点，故点M的坐标为b2，c2.由两点间距离公式，得d(B，C)＝c2＋b2，d(A，M)＝b24＋c24＝b2＋c22.所以2d(A，M)＝d(B，C)，即2|AM|＝|BC|.3两点距离公式的应用类型求函数y＝x2＋1＋x2－4x＋8的最小值．【分析】此函数的定义域为R，如果从代数的角度考虑，确实比较复杂，如果借助于平面上的两点间的距离公式，将其转化为几何问题，则非常容易．解决问题的关键是把函数表达式的两部分表示为两点间距离公式的形式，进而求解．【解】y＝x2＋1＋x2－4x＋8＝x－02＋0－12＋x－22＋0－22.令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取得最小值．因为A关于x轴的对称点为A′(0，－1)，所以(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝2－02＋2＋12＝4＋9＝13.即函数y＝x2＋1＋x2－4x＋8的最小值为13.【知识点拨】本题是利用平面上两点之间的距离公式求函数的最值．将代数问题转化为几何问题，体现了数学上的转化思想及数形结合思想．该类题目的解决是若题目条件中有形如x2＋y2、x－a2＋y－b2等的式子时，可考虑运用两点间的距离公式解决问题．已知A(6,1)，B(0，－7)，C(－2，－3)．(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)求△ABC的外心的坐标．解：(1)证明：|AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，|BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，|AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，由|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°.(2)∵直角△ABC的外心是斜边AB的中点，所以外心坐标为6＋02，1－72，即(3，－3)．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一两点的距离公式1．已知A(－1,1)，B(3,4)，则d(A，B)＝()A．29B．29C．5D．25答案：C2．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则从A到B的光线的距离为()A．52B．25C．510D．105解析：点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由光线的对称性可知，从A到B的光线的距离就是线段AB′的长度，∴|AB′|＝2＋32＋－10－52＝510，故选C．答案：C知识点二中点公式3．已知P(－8，－3)，Q(5，－3)，则线段PQ中点M的坐标为()A．32，3B．－32，－3C．－32，3D．32，－3答案：B4．点A(1,3)关于点P(3,4)对称的点A′坐标为________．解析：设A′为(x，y)，∴x＋12＝3，y＋32＝4，∴x＝5，y＝5.∴A′为(5,5)．答案：(5,5)知识点三两点的距离公式的应用5．y轴上点到A(－2,1)与B(－3，－2)两点距离之和的最小值为________．解析：A(－2,1)关于y轴的对称点为A′(2,1)，则y轴上点到A，B两点距离之和的最小值为|A′B|＝2＋32＋1＋22＝34.答案：34