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第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(2)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1.掌握圆与圆的位置关系及判断方法.2.能根据圆与圆的位置关系解决一些简单问题.1.圆与圆的位置关系有:___________、___________、___________、___________、___________.相离外切相交内切内含2.圆与圆的位置关系的判断方法:设两圆的半径分别为r1、r2,圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:位置关系图示d与r1、r2的关系相离___________外切___________d>r1+r2d=r1+r2位置关系图示d与r1、r2的关系相交_________________________内切___________内含___________|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|练一练(1)圆(x-1)2+y2=1和圆x2+(y+2)2=4的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切解析:圆心C1(1,0),C2(0,-2),|C1C2|=12+22=5r1+r2=3,且|C1C2|2-1=1.∴两圆相交.答案:C练一练(2)两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:两圆方程分别为(x-2)2+(y+1)2=4,(x+2)2+(y-2)2=9,圆心C1(2,-1),C2(-2,2),半径r1=2,r2=3.|C1C2|=2+22+-1-22=5=r1+r2.∴两圆外切,公切线有三条.答案:C1.如何判断两圆的位置关系?答:判断两圆的位置关系,一般有代数法和几何法两种方法.代数法是把位置关系的判定转化为求方程组的解,计算量偏大,一般不用此种方法;几何法较简洁,只需比较圆心距d与|r1-r2|r1+r2的大小即可得出位置关系.2.如何求两相交圆的公共弦所在直线的方程?答:求两圆公共弦所在直线方程,只需把两个圆的方程相减即可.求公共弦长时,应注意数形结合.典例精析规律总结课堂互动探究已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时两圆C1,C2(1)相切;(2)相交;(3)相离;(4)内含.【解】对圆C1、C2的方程,经配方后可得:C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,∴圆心C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1,∴|C1C2|=a-2a2+1-12=a,(1)当|C1C2|=r1+r2=5即a=5时,两圆外切,当|C1C2|=r1-r2=3即a=3时,两圆内切.(2)当3<|C1C2|<5即3<a<5时,两圆相交.(3)当|C1C2|>5即a>5时,两圆相离.(4)当|C1C2|<3即0a<3时,两圆内含.【规律总结】判断两圆的位置关系通常采用几何法,求出圆心距d,比较d与r1+r2及|r1-r2|的大小关系,即可得出两圆的位置关系.圆x2+y2-6x=0和圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切解析:两圆的标准方程分别为(x-3)2+y2=9,x2+(y+4)2=4,圆心分别为(3,0),(0,-4).圆心距d=0-32+-4-02=5,半径和为3+2=5,∴两圆外切.答案:B已知两圆x2+y2=25和x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B两点.(1)求弦AB所在直线方程;(2)求弦长|AB|.【解】(1)将两圆方程作差得弦AB所在直线方程为4x+2y-5=0.(2)圆x2+y2=25的圆心到直线4x+2y-5=0的距离d=|-5|42+22=52.|AB|2=25-522=952,∴|AB|=95.【规律总结】求两圆公共弦所在直线方程,一般不用求交点,而是将两圆方程化为一般式,作差消去二次项即得直线方程.求弦长一般用半径、弦心距求半弦长,再得弦长.已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5,-2),求圆C的方程.解:设圆C的半径长为r,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5=r2,两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0,因为该直线过点(5,-2),所以r2=4,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.求圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0交点的圆的方程.【解】解法一:解方程组x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0,得交点坐标分别为(0,2),(-4,0).设所求圆的圆心坐标为(a,-a),则有a2+-a-22=a+42+a2=r,解得a=-3,r=10,因此,圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.解法二:解方程组x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0,得交点坐标为A(0,2),B(-4,0),线段AB中垂线的方程为2x+y+3=0.方程组2x+y+3=0,x+y=0的解为x=-3,y=3.∴圆心坐标为(-3,3),半径r=-3-02+3-22=10,∴圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.【规律总结】本题考查了直线和圆、圆与圆的位置关系,此类题目可以结合图形,分析条件之间的内在联系,并结合直线、圆的几何性质求解.求与圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1),且半径为1的圆C2的方程.解:C1(2,-1),则过A(4,-1)和C1(2,-1)的直线方程为y=-1,设C2(a,-1),由|AC2|=1,即|a-4|=1,得a=3或a=5.∴所求方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.求与y轴相切,且与圆x2+y2-4x=0也相切的圆P的圆心轨迹方程.【错解】设P(x,y),动圆的半径为r′.圆x2+y2-4x=0化为标准方程为:(x-2)2+y2=4,其圆心为A(2,0),半径r=2.∵圆P与y轴相切,∴x=r′.又圆与圆x2+y2-4x=0相切,∴|PA|=x+2.∴x-22+y2=x+2.∴y2=8x.【错因分析】圆与y轴相切时,圆可以在y轴两侧,则圆心横坐标的绝对值等于圆的半径.两圆相切,可能内切,也可能外切,错解中丢掉了内切的情形.【正解】∵圆P与y轴相切,∴|x|=r′>0.又圆P与已知圆相切,∴当两圆外切时|PA|=r′+2,即x-22+y2=|x|+2.两边平方,得y2=4|x|+4x.当x>0时,y2=8x.当x<0时,化简得y=0.当两圆内切时|PA|=|r′-2|=||x|-2|即x-22+y2=||x|-2|.两边平方,得y2=4x-4|x|.当x>0时,y2=0,即y=0(x≠2).当x<0时,y2=8x无意义.综上,动圆圆心P的轨迹方程为y2=8x(x>0)或y=0(x≠0,x≠2).即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一两圆的位置关系1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是()A.外离B.相交C.内切D.外切解析:C1(-2,2),C2(2,5),|C1C2|=-2-22+2-52=5,r1+r2=1+4=5=|C1C2|∴两圆外切.答案:D2.已知圆C1与C2相切,圆心距为10,其中圆C1的半径为4,则圆C2的半径为()A.6或14B.10C.14D.不确定解析:当两圆外切时,4+r2=10,r2=6;当两圆内切时,r2-4=10,r2=14.答案:A3.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离解析:由题知圆M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=a2,所以2a2-a22=22,解得a=2.圆M,圆N的圆心距|MN|=2,两圆半径之差为1,两半径之和为3,故两圆相交.答案:B知识点二两圆位置关系的应用4.已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是________.解析:两圆化成标准方程为C1:(x-4)2+(y-2)2=9,C2:(x+2)2+(y+1)2=4.|PQ|最小值为圆心距与两半径之和的差,即[4--2]2+[2--1]2-3-2=35-5.答案:35-55.已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0和圆C2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB垂直平分线的方程是________________.解析:解法一:解方程组x2+y2-4x+6y=0,x2+y2-6x=0,得x1=0,y1=0或x2=275,y2=-95.则A(0,0),B275,-95.kAB=-13,AB的中点M2710,-910.AB中垂线方程为y+910=3x-2710,即3x-y-9=0.解法二:由圆的几何性质,圆心的连线即为AB线段的垂直平分线,C1(2,-3),C2(3,0),k=0--33-2=3,∴所求直线方程为y=3(x-3),化简得:3x-y-9=0.答案:3x-y-9=0
本文标题:2020年高中数学 第二章 解析几何初步 2 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(2)课件 北师大版
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