2020年高中数学 第二章 解析几何初步 2 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系（1）课件 北师大版

第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(1)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．理解直线和圆的三种位置关系．2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系.1．直线与圆的位置关系有三种，分别是直线与圆___________、直线与圆___________、直线与圆___________．相离相切相交2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断：位置关系相交相切相离公共点个数_____个_____个_____个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2________________________210d＜rd＝rd＞r位置关系相交相切相离判定方法代数法：由Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ________________________Δ＞0Δ＝0Δ＜0练一练直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：d＝121.∴直线与圆相交．答案：C1．判断直线与圆的位置关系主要思路有哪几种？答：(1)比较圆心到直线的距离d与半径r的关系；(2)直线方程与圆方程联立，消元判断Δ.2．求圆的切线方程时，应注意什么问题？答：注意讨论直线斜率是否存在．典例精析规律总结课堂互动探究已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时：(1)直线与圆有两个交点；(2)直线与圆有一个交点；(3)直线与圆没有交点．【解】圆x2＋y2＝2的圆心为O(0,0)，半径r＝2，圆心O到直线y＝x＋b的距离d＝|b|2.(1)当dr，即|b|22|b|2，∴－2b2时，直线与圆有两个交点．(2)当d＝r，即|b|2＝2|b|＝2，∴当b＝±2时，直线与圆有一个交点．(3)当dr，即|b|22|b|2，∴当b2或b－2时，直线与圆没有交点．【规律总结】解决此类问题应分清直线与圆的位置关系和直线与圆的公共点个数之间的等价关系．可通过方程联立来解决问题，也可利用圆心到直线的距离来处理，通常采用后者．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们交点的坐标．解：由3x＋y－6＝0，x2＋y2－2y－4＝0，得x2－3x＋2＝0，Δ＝(－3)2－4×2＝10，∴(x－1)(x－2)＝0，∴x1＝1，x2＝2，则y1＝3，y2＝0.∴交点坐标为(1,3)，(2,0).已知直线l经过点A(4，－3)，且与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1相切，求直线l的方程．【解】由点A到圆心C的距离4－32＋－3－12＝171，所以点A在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1.所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－158.所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0.②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4，综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.【规律总结】过一点求圆的切线问题，先判断此点是否在圆上，若在圆上，可先求出切线的垂线的斜率，进而求出切线斜率与切线方程；若点在圆外，则判断切线斜率是否存在，若存在斜率，则设出点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率进而求出切线方程．已知直线过点P(4,0)，且与圆x2＋y2＝8相切，求切线的方程．解：解法一：①若所求直线的斜率存在，设过点P(4,0)的切线的斜率为k，则切线的方程为y＝k(x－4)．由y＝kx－4，x2＋y2＝8消去y，得x2＋k2(x－4)2＝8，即(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0.判别式Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝－32(k2－1)．令Δ＝0，得k＝±1.∴切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0.②若所求直线的斜率不存在，圆心(0,0)到直线x＝4的距离为4，大于半径，所以不符合，舍去．解法二：①若所求直线的斜率存在，设过点P(4,0)与圆x2＋y2＝8相切的方程为y＝k(x－4)，则圆心(0,0)，半径r＝22，圆心到切线y＝k(x－4)的距离d＝|k|k2＋1＝22，即k2＝1，∴k＝±1.∴切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0.②若所求直线的斜率不存在，圆心(0,0)到直线x＝4的距离为4，大于半径，所以不符合，舍去.已知圆C过点A(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，求圆C的标准方程．【解】解法一：设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，r＝|a－1|则(x－a)2＋y2＝(a－1)2.设直线与圆交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由方程组y＝x－1，x－a2＋y2＝a－12，得x2－(a＋1)x＋a＝0，x1＝1，x2＝a.∴M(1,0)，N(a，a－1)．∴|MN|＝a－12＋a－12＝22.即a2－2a－3＝0，a＝－1或a＝3.又∵a＞0，∴a＝3.∴圆方程为(x－3)2＋y2＝4.解法二：设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，其中a＞0，r＝|a－1|.圆心(a,0)到直线x－y－1＝0的距离d＝|a－1|2.由题意得：|a－1|22＋(2)2＝|a－1|2，整理得：a2－2a－3＝0，a＝3或a＝－1(舍)，∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝4.【规律总结】求弦长常用方法有代数法和几何法．代数法：①将直线方程与圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点间距离公式求弦长．②设直线斜率为k，直线方程与圆方程联立，消去y后所得方程两根为x1，x2.则弦长d＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2.几何法：设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有l22＋d2＝r2，∴l＝2r2－d2.设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．解析：圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝a2＋2，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为|－a＋2a|2＝|a|2，所以|a|22＋(3)2＝(a2＋2)2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.答案：4π已知直线l：y＝－33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围．【错解】直线方程可化为3x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)，半径为1.若直线和圆相切，则d＝|－3m|3＋9＝1，解得m＝±233.∵直线与圆在第一象限有两个不同的交点，∴当直线过圆与x轴正半轴交点时，m＝33.∴m的取值范围是33，233.【错因分析】在解答平面解析几何问题时，应注意结合图形，并尽量准确的画出图形，错解中，对直线的斜率把握不准，致使解答错误．【正解】直线方程可化为3x＋3y－3m＝0，圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1.若直线和圆相切，则d＝|－3m|3＋9＝1，解得m＝±233，如图所示，在平面直角坐标系中，l1的方程为y＝－33x＋233，当直线y＝－33x＋m过点A(0,1)时，m＝1，即l2的方程为y＝－33x＋1.当直线l位于l1与l2之间时，直线与圆在第一象限内有两个不同的交点．此时，m∈1，233.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一直线与圆的位置关系1．圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝33x的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．直线过圆心解析：圆心(1,0)到直线y＝33x的距离d＝33332＋1＝12r＝1，∴圆与直线相交．答案：A知识点二圆的切线问题2．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1的切线方程中有一个是()A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x＝0D．y＝0解析：圆心(1，－3)，半径r＝1，圆心到切线的距离等于半径，代入验证知，应选C.答案：C3．过点P(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2B．23C．3D．25解析：当AB⊥OP时|AB|的值最小，此时|AB|＝2R2－|OP|2＝24－1＝23.答案：B4．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．22C.7D．3解析：圆心(3,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝3＋12＝22，∴切线长的最小值为d2－r2＝7.答案：C知识点三弦长问题5．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．解：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴可设圆心(3a，a)，半径r＝3|a|.又∵圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心到直线的距离d＝|3a－a|2＝2|a|.∴由d2＋2722＝r2，得2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.∴此圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.