2020年高中数学 第二章 解析几何初步 1 1.4 两条直线的交点课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步1.4两条直线的交点自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．理解从坐标的角度如何刻画两条直线的交点．2．会利用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.1．直线交点坐标与方程组的解设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果l1与l2相交，则交点的坐标一定是两个方程的____；如果二元一次方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0有唯一解，那么以这个解为坐标的点一定是___________．解直线的交点练一练(1)直线2x＋5y－6＝0与直线x－y＋4＝0的交点坐标为()A．(2，－2)B．(－2,2)C．(2，－4)D．(4，－2)答案：B2．两条直线的位置关系直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，①有唯一解⇔l1与l2___________；②有无穷多个解⇔l1与l2___________；③没有解⇔l1与l2___________．相交重合平行练一练(2)下列直线中，与直线2x－y＋3＝0相交的是()A．4x－2y－6＝0B．y＝2x－1C．y＝2x＋5D．y＝－2x－3答案：D两条直线的交点与直线方程有何关系？答：两条直线相交，交点一定在两条直线上，交点坐标是这两个直线方程组成的方程组的唯一解；如果两个二元一次方程组成的方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点，必是方程对应直线的交点．典例精析规律总结课堂互动探究判断下列两条直线的位置关系，若相交，求出交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.【解】(1)方程组2x－y＝7，3x＋2y－7＝0的解为x＝3，y＝－1，因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组2x－6y＋4＝0，4x－12y＋8＝0有无数组解，因此直线l1与l2重合．(3)方程组4x＋2y＋4＝0，y＝－2x＋3无解，故直线l1和l2没有公共点，l1∥l2.【规律总结】判断两直线的位置关系可以通过斜率和截距来处理，也可以通过判断直线对应方程组的解的个数来解决．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且垂直于l3：x＋2y－5＝0，求直线l的方程．解：联立方程组3x－5y－10＝0，x＋y＋1＝0，解得交点坐标为58，－138.∵所求直线l与l3：x＋2y－5＝0垂直，∴直线l的斜率k＝2.∴所求直线l的方程为16x－8y－23＝0.求证无论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．【解】解法一：令m＝0，得x－3y－11＝0，令m＝1，得x＋4y＋10＝0，解方程组x－3y－11＝0，x＋4y＋10＝0，得x＝2，y＝－3，则两直线交点为(2，－3)．将x＝2，y＝－3代入已知直线方程左边，得：(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.这表明无论m取什么实数，所给直线都经过定点(2，－3)．解法二：将已知方程整理成关于m的方程(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m为任意实数上式均成立∴2x＋y－1＝0，－x＋3y＋11＝0，解得x＝2，y＝－3.所以无论m取什么实数，所给直线都过定点(2，－3)．【规律总结】求直线恒过定点问题，一般两种方法：①令参数取两个特殊值，求出对应直线交点坐标，再证明一般性；②整理成关于参数的方程，依据方程恒成立的特点，列方程组求定点．求证m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5过定点．证明：证法一：令m＝1，得y＝－4，令m＝12，得x＝9.∴直线x＝9与y＝－4交点坐标为(9，－4)．将交点坐标代入原直线方程左端，得：(m－1)×9－(2m－1)×4＝9m－9－8m＋4＝m－5，∴无论m为何实数，点(9，－4)总在直线上，即直线过定点(9，－4)．证法二：将已知方程整理得(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0，由于m取任意实数时，此式均成立．∴x＋2y－1＝0，－x－y＋5＝0，解得x＝9，y＝－4.∴m为任意实数时，所给直线过定点(9，－4).三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，求k的取值范围．【解】(1)当l1∥l3时，知k≠0且有5k＝1，所以有k＝5.(2)当l2∥l3时，知k≠0且有5k＝－1，所以有k＝－5.(3)当l1，l2，l3三线交于一点时，解方程组x－y＝0，x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，∴直线l1与l2相交于点(1,1)．又l3过点(1,1)，所以有5×1－k－15＝0，所以有k＝－10.综上可知，要使三条直线构成一个三角形，需有k≠±5且k≠－10.【规律总结】本题采用的间接法求解，当直接求解问题有困难或很繁琐时，可考虑从问题的反面入手解决．设三条直线x－2y＝1,2x＋ky＝3,3kx＋4y＝5交于一点，求k的值．解：解方程组x－2y＝1，2x＋ky＝3，得x＝k＋6k＋4，y＝1k＋4.即前两条直线的交点坐标为k＋6k＋4，1k＋4.∵三条直线交于一点，∴上述直线交点必在第三条直线上，∴3k·k＋6k＋4＋4·1k＋4＝5，解得k＝1或k＝－163.若三条直线l1：7x－y－9＝0，l2：x＋y－7＝0，l3：x＋my－27＝0不能围成三角形，求实数m的值．【错解】∵三条直线不能围成三角形，∴三条直线中有两条直线平行．当l1∥l3时，1－m＝7，m＝－17；当l2∥l3时，－1m＝－1，m＝1.综上，m的值为－17或1.【错因分析】错解考虑问题不全面，导致丢解．三条直线交于一点时也不能围成三角形．【正解】若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点．由已知得m≠0，则三条直线的斜率为k1＝7，k2＝－1，k3＝－1m.若l3∥l1，则m＝－17.若l2∥l3，则m＝1.若三线共点，由7x－y－9＝0，x＋y－7＝0，得交点A(2,5)，而A(2,5)在l3上，代入方程得m＝5.综上所述m＝－17或m＝1或m＝5.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一直线的交点1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为()A.－1，13B．1，13C.13，1D．－1，－13答案：C2．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为()A．－24B．6C．±6D．以上都不对解析：设交点坐标为(0，b)，分别代入两直线方程得3b－k＝0，－kb＋12＝0，解得b＝2，k＝6或b＝－2，k＝－6.答案：C知识点二直线过定点问题3．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－5－4k＝0都过一个定点P，则P的坐标是()A．(1,3)B．(－1,3)C．(3,1)D．(3，－1)解析：将直线(k＋2)x＋(1－k)y－5－4k＝0变形为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，由2x＋y－5＝0，x－y－4＝0，得x＝3，y＝－1.∴定点P的坐标是(3，－1)．答案：D知识点三直线交点的综合问题4．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10与2x－y＝0相交于一点，则a的值为__________．解析：由4x＋3y＝10，2x－y＝0，解得x＝1，y＝2，交点为(1,2)，直线ax＋2y＋8＝0经过点(1,2)．∴a＋2×2＋8＝0，解得a＝－12.答案：－125．已知l1：x－y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，l3：x＋my－5＝0，若直线l1，l2，l3只有两个交点，求m的值．解：由直线l1与l2的方程知，l1与l2相交，故只需l1∥l3或l2∥l3即可．由l1∥l3，得－1m＝1，∴m＝－1.由l2∥l3，得－1m＝2，∴m＝－12.∴m的值为－1或－12.