2020年高中数学 第二章 解析几何初步 1 1.2 直线的方程（1）课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步1.2直线的方程(1)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|掌握直线方程的点斜式和斜截式，会求直线的方程.1．直线的方程：一般地，如果一条直线l上任一点的___________都满足一个方程，满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的__________都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．2．直线方程的点斜式：过点P(x0，y0)，斜率为k的直线方程的点斜式为：_____________________；过P(x0，y0)且与_________垂直的直线没有点斜式，其方程为___________.坐标(x，y)点y－y0＝k(x－x0)x轴x＝x0练一练(1)与x轴的交点为(2,0)，且倾斜角为45°的直线方程为()A．y＝－x＋2B．y＝－x－2C．y＝x＋2D．y＝x－2解析：k＝tan45°＝1.∴直线方程为y－0＝1×(x－2)，即y＝x－2.答案：D3．直线方程的斜截式：经过点(0，b)，斜率是k的直线方程的斜截式为：___________，其中b叫做这条直线在y轴上的___________．倾斜角是___________的直线无斜截式．y＝kx＋b截距90°练一练(2)直线y＝2x－1在y轴上的截距为()A．2B．1C．－1D．－2解析：当x＝0时，y＝－1，即直线在y轴上的截距为－1.答案：C1．应用直线方程的点斜式或斜截式应注意什么？答：当直线与x轴垂直时，无斜率，此时直线方程不能写成点斜式或斜截式．2．怎样理解直线在y轴上的截距？答：直线斜截式方程为y＝kx＋b，其中b称为直线在y轴上的截距，b的取值可为正数、零、负数，其本质为直线与y轴交点的纵坐标．典例精析规律总结课堂互动探究求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(1,2)，斜率为3；(2)过点A(2,3)，倾斜角为π3；(3)过P(1,2)，Q(2,3)两点；(4)过点A(1,2)，且与x轴平行；(5)过点A(2,3)，且与y轴平行．【解】(1)y－2＝3(x－1)，整理得3x－y－1＝0.(2)斜率k＝tanπ3＝3，y－3＝3(x－2)，整理得3x－y＋3－23＝0.(3)kPQ＝3－22－1＝1，y－2＝1·(x－1)，整理得x－y＋1＝0.(4)k＝0，直线方程为y＝2.(5)无斜率，不能用点斜式，但可写出方程：x＝2.【规律总结】使用直线方程的点斜式，必须明确直线有斜率且已知直线上一点．直线y＝ax－3a＋2(x∈R)必过定点________．解析：将直线方程y＝ax－3a＋2化为点斜式为y－2＝a(x－3)，则直线的斜率为a，必过定点(3,2)．答案：(3,2)(1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式；(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．【解】(1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0化为斜截式为y＝－2x＋1，∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0,1)．【规律总结】已知直线的斜率和直线在y轴上的截距时，常用斜截式写出直线方程．斜截式方程不能表示无斜率的直线．(1)倾斜角为30°，且在y轴上的截距为－5的直线方程是________；(2)若直线方程为y＋3＝2(x－1)，则它在y轴上的截距为________．解析：(1)斜率k＝tan30°＝33，则直线方程为y＝33x－5.(2)直线方程可转化为y＝2x－5，∴直线在y轴上的截距为－5.答案：(1)y＝33x－5(2)－5求斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线l的方程．【解】设直线方程为y＝34x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－43b.由题意知：|b|＋－43b＋b2＋－43b2＝12，整理得：|b|＝3，则b＝±3.∴所求方程为y＝34x＋3或y＝34x－3.【规律总结】利用已知条件，选择适当的方程形式，设出方程，利用条件确定出常数，进而求出方程．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程．解：设直线方程为y－2＝k(x＋2)(k≠0)．令y＝0，得x＝－2k－2，令x＝0，得y＝2k＋2，由面积公式得：S＝12|2k＋2|·－2k－2＝1，即2|k＋1|·|k＋1||k|＝1，2|k＋1|2＝|k|若k＞0，则2k2＋3k＋2＝0.Δ＝－7＜0，此方程无解．若k＜0，得2k2＋5k＋2＝0，解得k＝－2或k＝－12.∴y－2＝－2(x＋2)或y－2＝－12(x＋2)，即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．【错解】设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.令y＝0得，x＝2k－2k.由三角形的面积为2，得12×2k－2k×2＝2.解得k＝12.所以直线l的方程为y－2＝12(x－2)．【错因分析】错解忽略了直线点斜式方程的适用条件，当直线无斜率时，不能用点斜式表示直线方程，但这种情况仍可能满足题意．【正解】当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，其与x轴及直线y＝x围成的三角形的面积为2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设其方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.当y＝0时，x＝2k－2k.由题意得12×2k－2k×2＝2，解得k＝12，则直线方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0，综上，直线l的方程为x＝2或x－2y＋2＝0.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一直线的点斜式方程1．直线y－3＝－32(x＋4)的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有()A．k＝－32，b＝3B．k＝－32，b＝－2C．k＝－32，b＝－3D．k＝－23，b＝－3解析：y＝－32x－3，∴k＝－32，b＝－3.答案：C2．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x－3)解析：k＝tan60°＝3，y－2＝3(x＋3)．答案：C知识点二直线的斜截式方程3．直线y＝ax－1a的图像可能是()解析：当a0时，直线在y轴上的截距－1a0；当a0时，直线在y轴上的截距－1a0.答案：B4．倾斜角为45°，在y轴上截距为－2的直线方程为________．解析：k＝tan45°＝1，则斜截式方程为y＝x－2.答案：y＝x－25．直线l经过定点(－1,1)，且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，求直线l的方程．解：∵直线l与直线y＝x＋6有相同的截距，∴可设直线l的方程为y＝kx＋6，又点(－1,1)在直线l上，∴1＝－k＋6，∴k＝5.∴直线l的方程为y＝5x＋6.