2020年高中数学 第二章 解析几何初步 1 1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．体会用直线的倾斜角和斜率来刻画直线的倾斜程度．2．掌握直线的倾斜角和斜率的基本概念.1．直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的___________和这条直线的方向．2．倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴___________的直线l，把x轴(正方向)按___________绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角，当直线l___________时，它的倾斜角为0°.通常倾斜角用α表示，倾斜角的取值范围为：___________________.一个点相交逆时针方向和x轴平行0°≤α＜180°练一练(1)直线x＝2的倾斜角等于()A．0°B．30°C．60°D．90°答案：D3．斜率(1)斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的___________叫作这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝___________.(2)倾斜角对斜率的影响：所有直线都有___________，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为___________的直线没有斜率．当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是___________，倾斜角越大，直线的斜率就___________；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是___________，倾斜角越大，直线的斜率就___________．正切值tanα倾斜角90°非负的越大负的越大练一练(2)直线l的倾斜角为45°，则它的斜率为k＝()A.33B．1C．3D．2解析：k＝tan45°＝1.答案：B4．过两点的直线斜率的计算公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____________.y2－y1x2－x1练一练(3)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：k＝m－4－2－m＝1，m－4＋2＋m＝0，m＝1.答案：A1．求直线的倾斜角应注意哪些问题？答：求直线的倾斜角要结合图形，注意三点：①x轴的正方向；②逆时针旋转；③与l重合．2．怎样求直线的斜率？答：求斜率可从两个角度：①倾斜角的正切：k＝tanα(α≠90°)；②利用直线上两点：k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)．典例精析规律总结课堂互动探究设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角是________．【解析】当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，如图．此时l1的倾斜角为β，则β＝α＋45°－180°＝α－135°.【答案】当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，为α－135°【规律总结】求倾斜角时，主要根据定义，画出图形，找准倾斜角．有时需分类讨论，把角分为四类：①0°角；②锐角；③直角；④90°＜α＜180°.下列说法：①与x轴垂直的直线的倾斜角为90°；②与x轴平行的直线的倾斜角为0°；③若一条直线过二、四象限，则它的倾斜角为钝角；④倾斜角为锐角的直线必过一、三象限．其中正确的为________．解析：由倾斜角的定义可知①②正确，结合直线的图像可知③④正确．答案：①②③④已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)．(1)求直线l的斜率；(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值．【解】(1)当m＝2时，l⊥x轴，斜率不存在．当m≠2时，k＝2－1m－2＝1m－2.(2)∵倾斜角α＝45°，∴k＝tanα＝tan45°＝1，∴1m－2＝1，∴m＝3.【规律总结】用两点坐标求直线斜率时，要明确横坐标是否相等，用倾斜角求斜率应讨论倾斜角是否等于90°.已知直线l经过点P(5,10)，Q(m,12)，若l的倾斜角θ≥90°，则实数m的取值范围是________．解析：当θ＝90°时，直线与x轴垂直，∴m＝5；当θ＞90°时，直线的倾斜角为钝角，斜率小于0，即12－10m－5＜0，解得m＜5.综上，m的取值范围是(－∞，5]．答案：(－∞，5]求证：A(1,5)，B(0,2)，C(2,8)三点共线．【证明】∵kAB＝yB－yAxB－xA＝2－50－1＝3，kBC＝yC－yBxC－xB＝8－22－0＝3，∴kAB＝kBC.又过同一点B，∴A，B，C三点共线．【规律总结】斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的直线方向不变．即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率是相等，这正是利用斜率来证明三点共线的道理．已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一直线上，求a的值．解：∵kBC＝2a－1－4－5＝－2a－19存在，又A，B，C三点共线，∴kAB也存在，且kAB＝kBC.即－2a－19＝1－25－a(a≠5)，∴2a2－11a＋14＝0，解得a＝72或a＝2.已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．求：(1)直线PM与PN的斜率；(2)直线l的斜率k的取值范围．【错解】(1)kPM＝－3－12－1＝－4，kPN＝－2－1－3－1＝34.(2)由(1)知，直线l的斜率k的取值范围是－4，34.【错因分析】(2)中求斜率k的取值范围时，未结合图形分析k的变化趋势．【正解】(1)kPM＝－3－12－1＝－4，kPN＝－2－1－3－1＝34.(2)如图所示，l′是经过点P且与x轴垂直的直线，当直线l由PN位置绕点P向l′位置旋转时，直线的倾斜角在锐角范围内逐渐增大，斜率也逐渐增大，此时k≥kPN＝34；当直线l由l′位置绕点P向直线PM位置旋转时，直线的倾斜角在钝角范围内逐渐变大，斜率也逐渐增大，此时，k≤kPM＝－4.综上，直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－4]∪34，＋∞.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一直线的斜率与倾斜角1．下列说法中正确的是()A．一条直线和x轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角B．直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α≤180°C．任何一条直线都有斜率D．任何一条直线都有倾斜角解析：A错，应为直线向上的方向；B错，α≠180°；C错，与x轴垂直的直线无斜率．答案：D2．已知直线l的斜率为－33，则该直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：tanα＝－33，α＝150°.答案：C知识点二直线斜率大小3．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()A．k1k2k3B．k1k3k2C．k2k1k3D．k3k2k1解析：由图知，直线的倾斜角均为锐角，则倾斜角越大，斜率越大．答案：A知识点三直线斜率的应用4．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别是2和－2，则点P的坐标是________．解析：设P(x，y)，kAP＝y－2x＋1＝2，∴2x－y＋4＝0，①，kBP＝y－2x－3＝－2，∴2x＋y－8＝0，②，解①②组成的方程组，得x＝1，y＝6，∴P(1,6)．答案：(1,6)5．已知a0，若平面上三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，求a的值．解：∵kAB＝a2－－a2－1＝a2＋a存在，又A，B，C三点共线，∴kAC＝a3－－a3－1＝a3＋a2也存在，且kAB＝kAC，即a2＋a＝a3＋a2，整理得a(a2－2a－1)＝0.解得a＝0或a＝1±2.又∵a0，∴a＝1＋2.