2020年高中数学 第二章 函数章末总结归纳课件 新人教B版必修1

第二章函数章末总结归纳所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，它实际上是为解决问题的方便增加了条件(体现了分类讨论思想)，对它应有以下两点基本认识：(1)分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．1关于分段函数的问题专题某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费，每月用电不超过100度时，按每度0.50元计算，每月用电超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.57元计算．(1)设月用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x100时，分别写出y关于x的函数关系式；(2)小王家第一季度交纳电费情况如下：月份一月二月三月合计交费金额76元63元45元6角184元6角问小王家第一季度共用电多少度？【解】(1)据题意可得y＝0.50x，0≤x≤100，0.57x－100＋50，x100.(2)∵第一段最高交纳电费50元，∴一月用电76－500.57＋100≈145.6(度)，二月用电63－500.57＋100≈122.8(度)，三月用电45.6÷0.50＝91.2(度)．∴第一季度共用电145.6＋122.8＋91.2＝359.6(度).2转移法求函数解析式专题根据函数图象的对称性，已知函数在一个区间上的解析式，求另一个区间上的解析式，是用转移法．这一方法可以推广到两个函数的图象有对称性(或有其他关系)，已知其中一个的解析式，求另一个解析式以及两个曲线的方程，知其一求其二．已知奇函数f(x)，在x≤0时解析式为f(x)＝x2－3x，求x0时的解析式．【解】设x0时，则－x0，由已知得f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝－x2－3x(x0).3数学思想与方法专题1.用函数与方程的思想解题所谓函数思想就是指运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想．不少数学问题，若用函数的思想方法去分析，不仅能深刻地挖掘出问题的内涵，而且能迅速找到解题思路．已知关于x的一元二次方程(x－1)·(3－x)＝a－x(a∈R)，请你不用方程的判别式，利用函数的图象讨论方程的根的情况．【解】方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．原方程可化为－x2＋5x－3＝a.作出函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象(如图)，再作出函数g(x)＝a的图象．由图象可知：(1)当a＝134时，方程有两个相等的实数根；(2)当a134时，方程有两个不相等的实数根；(3)当a134时，方程没有实数根．2．用数形结合思想解题已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．【解】令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使k0，f10或k0，f10.即k0，2k－2－3k－20或k0，2k－2－3k－20.解得k0或k－4.∴实数k的取值范围为k0或k－4.3．用待定系数法解题使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为x的方程式或方程组来解．待定系数法在求函数解析式中有着极为广泛的应用．已知直线AB过x轴上的一点A(2,0)且与抛物线y＝ax2相交于B(1，－1)，C两点．(1)求直线和抛物线的解析式；(2)问抛物线上是否存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．【解】(1)设直线的解析式为y＝kx＋b，又∵直线过点A(2,0)，B(1，－1)，∴2k＋b＝0，k＋b＝－1，解得k＝1，b＝－2.∴直线的解析式为y＝x－2.又∵抛物线y＝ax2过点B(1，－1)，∴a＝－1.∴抛物线的解析式为y＝－x2.(2)直线与抛物线相交于B，C两点，故y＝x－2，y＝－x2，解得B，C两点坐标为B(1，－1)，C(－2，－4)，如图可知，S△OBC＝S△OAC－S△OAB＝12×|－4|×2－12×|－1|×2＝3.假设抛物线上存在一点D，使S△OAD＝S△OBC，设D(a，－a2)，∴S△OAD＝12×2×a2＝a2，∴a2＝3，∴a＝3或a＝－3，即存在这样的点D(3，－3)或D(－3，－3)满足题意．4．用等价转化的思想解题等价转化思想是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题的一种重要数学思想方法．在学习本章内容时，会经常碰到“恒成立”问题．“恒成立”问题是高考热点内容之一，涉及到一次函数，二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力．解题时往往通过变元转换，变量分离等方法，转化为我们熟知的问题来解决．已知不等式1≤－x2＋x＋a＋1≤174对一切x∈[－1,1]恒成立，求a的取值范围．【解】令f(x)＝－x2＋x＋a＋1＝－x－122＋54＋a，∵f(x)的对称轴为x＝12，又x∈[－1,1]，∴当x＝－1时，函数f(x)取得最小值ymin＝－1＋a；当x＝12时，f(x)取得最大值ymax＝54＋a.要使命题成立，只需ymin≥1，ymax≤174，即－1＋a≥1，54＋a≤174，解得2≤a≤3.4抽象函数问题专题当函数的某些性质已知，其对应法则未知时，这样的函数叫抽象函数．抽象函数的性质也是抽象的，解决有关问题时，要紧紧围绕抽象的性质，为了使用抽象的性质，一般方法是对性质中的变量进行赋值．定义在R＋上的函数f(x)，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(1)的值；(2)证明：fxy＝f(x)－f(y)；(3)当x1时，f(x)0，求证：f(x)在(0，＋∞)上为增函数；(4)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f132.【解】(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)证明：∵对任意x，y∈R＋有f(x)＋f(y)＝f(xy)，∴f(y)＋fxy＝fy·xy＝f(x)．∴fxy＝f(x)－f(y)．(3)证明：任取x1，x2∈R＋，且x2x10，则x2x11，由条件得fx2x10.又由(2)，fx2x1＝f(x2)－f(x1)0.这就证明了Δx＝x2－x10时Δy＝f(x2)－f(x1)0.∴函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．(4)由(2)得f(x＋3)－f13＝f[3(x＋3)]．又f(6)＝1，∴f(36)＝f(6)＋f(6)＝2.∴原不等式化为f[3(x＋3)]f(36)．由f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴03(x＋3)36，解得－3x9.1．函数y＝1－x＋x的定义域为()A．(－∞，1]B．[0，＋∞)C．(－∞，0]∪[1，＋∞)D．[0,1]解析：由题意得1－x≥0，x≥0，∴0≤x≤1，故函数y＝1－x＋x的定义域为[0,1]．答案：D2．已知函数f(x)＝xx＋3x≥0，xx－3x＜0，则f(－2)＝()A．－2B．10C．2D．－10解析：f(－2)＝－2×(－2－3)＝10，故选B．答案：B3．已知函数f(x)＝x－[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，如－32＝－2，[－3]＝－3，52＝2，则f(x)的值域是()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1]解析：f(x)＝x－[x]的图象如图所示：所以f(x)的值域为[0,1)，故选C．答案：C4．下列函数定义域是R且在区间(0,1)是递增函数的是()A．y＝|x＋1|B．y＝xC．y＝1xD．y＝－x2＋4解析：y＝x的定义域为[0，＋∞)，排除B；y＝1x定义域为{x|x≠0}，排除C；y＝－x2＋4为二次函数，开口向下，对称轴为y轴，故在(0,1)上为减函数，排除D．答案：A5．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.(1)若函数f(x)在[－5,5]上为单调函数，求实数a的取值范围；(2)求a的值，使f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1.解：由已知得f(x)＝x2＋2ax＋2.(1)∵－a≤－5或－a≥5，∴a≤－5或a≥5.(2)当a5时，f(x)min＝f(－5)＝27－10a＝－1，解得a＝145(舍)；当－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±3；当a－5时，f(x)min＝f(5)＝27＋10a＝－1，解得a＝－145(舍)．∴综上a＝±3.