2020年高中数学 第二章 函数 2.1.1 函数 第1课时 变量与函数的概念课件 新人教B版必修1

第二章函数2.1函数2.1.1函数第一课时变量与函数的概念自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解函数的概念，明确函数的三要素，即定义域、值域和对应法则．2．能正确使用区间表示数集．3．会求一些简单函数的定义域.1．函数的概念设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作：______________.其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的________．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作_________________，所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做________________．y＝f(x)，x∈Ay＝f(a)或y|x＝a定义域这个函数的值域2．区间设a，b是两个实数，且ab，则区间的定义、名称、符号及几何表示如下表：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间______{x|axb}开区间______{x|a≤xb}半闭半开区间______{x|ax≤b}半开半闭区间______[a，b](a，b)[a，b)(a，b]定义名称符号数轴表示{x|x≥a}___________{x|xa}___________{x|x≤a}___________{x|xa}___________R____________取遍数轴上所有值[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)(－∞，＋∞)1．函数y＝1－x＋x的定义域是()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}解析：由题可知1－x≥0，x≥0，∴0≤x≤1.故选D．答案：D2．区间[a,2a＋1]，则实数a满足的条件是()A．a∈RB．a≤1C．a≥－1D．a＞－1解析：由a＜2a＋1，得a＞－1，故选D．答案：D3．已知函数f(x)＝x2－5，若f(a)＝4，则a＝________.解析：f(a)＝a2－5＝4，∴a2＝21，∴a＝±21.答案：±21典例精析规律总结课堂互动探究1函数的概念类型(1)下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是()(2)下列四组函数中，表示同一个函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1【解析】(1)由函数的定义可知任意一个x值，都有唯一的y值与之对应，B图象中一个x值有两个y值与之对应，故B不可能是函数y＝f(x)的图象．(2)B中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，不是同一函数；C中f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，不是同一函数；D中x＝－2满足x2－1≥0，但不在f(x)的定义域内，故不是同一函数．【答案】(1)B(2)A【知识点拨】(1)确定两个变量之间是否具有函数关系，只需检验：①定义域和对应法则是否给出，注意定义域不能为空集；②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.(2)确定函数的两个要素是定义域和对应法则，函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以要判断两个函数是不是同一函数，只需看它们的定义域和对应法则是否完全相同．判断下列对应是否是函数：(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝1x；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，f(1)＝f(3)＝4，f(2)＝5；(3)A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，对应关系如下：(4)A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，对应关系如下：解：(1)由于A中的元素0在B中没有元素对应，故不是A到B的函数．(2)由于A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的元素与之对应，故是从A到B的函数．(3)由于A中的元素2在B中有两个元素与之对应，且A中的元素1,3在B中没有元素对应，不符合函数的定义，故不是从A到B的函数．(4)由于A中的元素3在B中没有元素对应，故不是A到B的函数．下列函数中与函数y＝x相等的是()A．y＝3x3B．y＝(x)2C．y＝x2xD．y＝x2解析：函数y＝x的定义域为R，值域为R，函数y＝3x3＝x，且定义域为R，∴与y＝x相等；函数y＝(x)2的定义域为[0，＋∞)与y＝x不相等；函数y＝x2x的定义域为{x|x≠0}与y＝x不相等；函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，与y＝x不相等，故选A．答案：A2函数的定义域类型(1)函数y＝2x＋1＋3－4x的定义域为()A．－12，34B．－12，34C．－∞，12∪34，＋∞D．－12，0∪(0，＋∞)(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)【解析】(1)要使函数有意义，则2x＋1≥0，3－4x≥0，所以x≥－12，x≤34.所以－12≤x≤34.所以函数的定义域为－12，34，故选B．(2)因为y＝f(x)的定义域为[0,2]，则g(x)中x应满足0≤2x≤2，x－1≠0.即0≤x＜1，所以g(x)的定义域为[0,1)，故选B．【答案】(1)B(2)B【知识点拨】求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，常见的有下列情形：(1)负数不能开偶次方，偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分子中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果函数有实际背景，还要符合实际情况，求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．求下列函数的定义域：(1)y＝2－3x2x－1；(2)y＝6＋4xx＋|x|－16－4x.解：(1)2－3x≥0，2x－1≠0⇒x∈－∞，12∪12，23.(2)6＋4x≥0，6－4x0，x＋|x|≠0⇒x≥－32，x32，x0⇒x∈0，32.3函数值与值域类型求下列函数的值域：(1)y＝3x＋1，x∈{1,2,3,4}；(2)y＝x＋3；(3)y＝x2＋2x－3；(4)y＝2xx＋1.【解】(1)将x＝1,2,3,4分别代入y＝3x＋1得y＝4,7,10,13，所以函数的值域为{4,7,10,13}．(2)∵y＝x＋3的定义域为{x|x≥0}，∴x≥0，∴x＋3≥3.∴函数的值域为[3，＋∞)．(3)y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4≥－4，所以函数的值域为[－4，＋∞)．(4)y＝2xx＋1＝2x＋1－2x＋1＝2－2x＋1，∵2x＋1≠0，∴y≠2.所以函数的值域为{y|y≠2}．【知识点拨】常见函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0，x∈R)的值域为R；(2)y＝ax2＋bx＋c＝ax＋b2a2＋4ac－b24a(a≠0)．当a0时，值域为4ac－b24a，＋∞，当a0时，值域为－∞，4ac－b24a；(3)y＝kx(k≠0)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；(4)y＝x(x≥0)的值域为[0，＋∞)．已知fx2－1＝2x＋3，且f(m)＝6，则m等于________．解析：由fx2－1＝2x＋3＝6，得x＝32，∴x2－1＝34－1＝－14，∴m＝－14.答案：－14已知函数f(x)＝x21＋x2.(1)求f(2)＋f12，f(3)＋f13的值；(2)求证：f(x)＋f1x是定值．解：(1)f(2)＋f12＝41＋4＋141＋14＝1；f(3)＋f13＝91＋9＋191＋19＝1.(2)证明：f(x)＋f1x＝x21＋x2＋1x21＋1x2＝x21＋x2＋11＋x2＝1＋x21＋x2＝1，∴f(x)＋f1x为定值1.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一求函数值1．已知f(x)＝x－|x|－1，则f[f(2)]＝()A．－2B．1C．－3D．0解析：f[f(2)]＝f(－1)＝－3，故选C．答案：C知识点二同一函数的判定2．下列选项中的两个函数表示同一函数的是()A．f(x)＝x与g(x)＝(x)2B．f(x)＝1－x·1＋x与g(x)＝1－x2C．f(x)＝x与g(x)＝x2xD．f(x)＝x＋3·x－3与g(x)＝x2－9解析：A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)；C中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}；D中f(x)与g(x)的定义域不同，故表示同一函数的是B．答案：B知识点三区间的概念3．若集合A＝0，14，则∁RA＝()A．14，＋∞B．(－∞，0]∪14，＋∞C．(－∞，0)∪14，＋∞D．14，＋∞解析：A＝0，14＝x0＜x≤14，∴∁RA＝xx≤0或x＞14，故选B．答案：B知识点四函数的概念4．A＝{x|0≤x≤2}，下列图象中能表示定义域和值域都是A的函数的是()答案：A知识点五函数值与值域5．已知函数f(x)＝x2＋x－1.(1)求f(2)，f1x；(2)求f(x)的值域．解：(1)f(2)＝4＋2－1＝5；f1x＝1x2＋1x－1＝1x2＋1x－1.(2)f(x)＝x2＋x－1＝x＋122－54，∴f(x)的值域为－54，＋∞.