2020年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.

第二章点、直线、平面之间的位置关系2．3直线、平面垂直的判定及其性质2．3．3直线与平面垂直的性质2．3．4平面与平面垂直的性质登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．学习目标‖自主导学‖预习课本P70～P72，思考并完成以下问题．知识点一|直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线1______符号语言a⊥αb⊥α⇒2_______平行a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线[思考探究]………………|辨别正误|1．垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？[提示]共面．由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面．2．过一点有几条直线与已知平面垂直？[提示]有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．知识点二|平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则3____________垂直于4_______的直线与另一个平面5______符号语言α⊥βα∩β＝l6______7______⇒a⊥β一个平面内交线垂直a⊂αa⊥l图形语言作用①面面垂直⇒8_______垂直②作面的垂线线面[思考探究]………………|辨别正误|判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.()√(2)若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β.()√(3)若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.()×(4)若平面α∥平面β，任取直线l⊂α，则必有l∥β.()√剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一直线与平面垂直的性质及应用【例1】如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[证明]如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.|方法总结|1．已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.求证：QR⊥AB.证明：如图，因为α∩β＝AB，PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO.因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.因为PQ与OR确定平面PQRO，QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR.题型二平面与平面垂直的性质及应用【例2】如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．[解](1)证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝34AB2＝3.∵OC⊥平面VAB，∴VC－VAB＝13OC·S△VAB＝13×1×3＝33，∴VV－ABC＝VC－VAB＝33.1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.|方法总结|2．如图所示，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.证明：因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.又因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.题型三线线、线面、面面垂直的综合问题【例3】如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高．[解](1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.∵G为AD的中点，∴CG⊥AD.同理BG⊥AD，∵CG∩BG＝G，∴AD⊥平面BGC.又∵E，F分别是AC，CD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCD.∵G为AD的中点，∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO＝ABsin60°＝3，∴h＝32.连接BF，∵BD＝BC，∴BF⊥DC，在△BCD中，BF＝BD·cos60°＝2×12＝1，DF＝BD·sin60°＝3，∴DC＝23，故S△DCB＝12BF·DC＝12×1×23＝3.∴VD－BCG＝VG－BCD＝13S△DCBh＝13×3×32＝12.【探究1】[变结论]若例3中条件不变，证明：平面BCG⊥平面ACD.[证明]在例3中知EF⊥平面BCG，又知EF⊂平面ACD，∴平面BCG⊥平面ACD.【探究2】[变条件]若例3中的条件∠ABC＝∠DBC＝120°，改为∠ABC＝∠DBC＝90°，EF还垂直于平面BCG吗？[证明]由已知得：△ABC≌△DBC，因此，AC＝DC，又G为AD的中点，则CG⊥AD；同理，BG⊥AD，BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.由题知，EF为△DAC的中位线，所以EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.|方法总结|3．如图，在三棱锥P－ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．一个联系：线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．一种思想：面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：「自测检评」1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：选D由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则不重合的直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定解析：选C∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的序号是________．解析：由线面垂直的定义及性质定理可知，①④正确；②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交但不垂直．也可能平行，故③不正确．答案：①④4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.答案：平行5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.证明：因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SDC，又因为BC⊂平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC.