2020届新高考数学艺考生总复习 第五章 数列 第2节 等差数列及其前n项和课件

高考总复习艺考生山东版数学第2节等差数列及其前n项和第五章数列最新考纲核心素养考情聚焦1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．4.体会等差数列与一元一次函数的关系1.等差数列的基本运算，达成逻辑推理和数学运算素养．2.等差数列的判定与证明，发展数学抽象和数学运算素养．3.等差数列的性质，提升逻辑推理和数学运算素养等差数列的定义、通项公式及前n项和公式、等差数列的性质是高考的热点，以求a1、d、an、Sn为主要考查内容．高考题型多样，以选择题、填空题的形式考查等差数列的基本运算和性质，难度不大．在解答题中常与等比数列、数列求和等问题综合考查，难度中等1．等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b2.数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.推广：①an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．②等差数列的通项公式与函数的关系an＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数．③数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)．(2)等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)．推广：①等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数，且常数项为0.②数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．3．等差数列的有关性质已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．(1)当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N*)．(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为m2d.4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．1．有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….2.Snn也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的12.3．在等差数列{an}中，(1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S奇S偶＝anan＋1.(2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；S奇S偶＝nn－1.4．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则S2n－1T2n－1＝anbn.5．若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.6．若am＝n，an＝m(m≠0)，则am＋n＝0.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和公式为n的二次函数．()(5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．()(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)√[小题查验]1．(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97解析：C[设等差数列{an}的公差为d，由已知得9a1＋36d＝27，a1＋9d＝8，所以a1＝－1，d＝1，所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.]2．(2019·荆州市一模)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64解析：A[设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，a1＋7d＝8，联立解得a1＝－174，d＝74.则a12＝－174＋74×11＝15.]3．(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n解析：A[设{an}的公差为d，则4a1＋6d＝0，a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2.∴an＝－3＋(n－1)·2＝2n－5，Sn＝－3n＋nn－12×2＝n2－4n，故选A.]4．(北师大版教材例题改编)已知等差数列{an}，a5＝－20，a20＝－35，则an＝________答案：－15－n5．已知数列{an}中，a1＝1且1an＋1＝1an＋13(n∈N*)，则a10＝________.解析：由1an＋1＝1an＋13知，数列{1an}为等差数列，则1an＝1＋13(n－1)，即an＝3n＋2.∴a10＝310＋2＝14.答案：14考点一等差数列的基本运算(自主练透)数学建模——等差数列实际应用中的核心素养以等差数列的知识为基础，把现实生活中的实际问题通过“建模”转化为数学问题，进而通过数学运算来解释实际问题，并接受实际的检验，发展数学建模的素养．[题组集训]1．(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8解析：C[设公差为d，则a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋6×52d＝48，联立得2a1＋7d＝24①，6a1＋15d＝48②，①×3－②得(21－15)d＝24,6d＝24，所以d＝4.]2．(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.解析：本题考点为等差数列的求和，为基础题目，难度不大．不能构造等数列首项和公差的方程组致使求解不通，应设出等差数列的公差，为列方程组创造条件，从而求解数列的和.a3＝a1＋2d＝5a7＝a1＋6d＝13，得a1＝1d＝2，∴S10＝10a1＋10×92d＝10×1＋10×92×2＝100.答案：1003．(2019·咸阳市一模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得()A．三分鹿之一B．三分鹿之二C．一鹿D．一鹿、三分鹿之一解析：A[五人分得的鹿构成等差数列{an}，d＜0.a1＝1＋23＝53，S5＝5，∴5×53＋5×42d＝5，解得d＝－13，∴a5＝53－13×4＝13.]等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二等差数列的判定与证明(子母变式)[母题]若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[破题关键点](1)将an＋2SnSn－1＝0(n≥2)转化为Sn与Sn－1的关系等式；(2)先求出Sn，再利用an与Sn的关系求an.[解析](1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得1Sn＝2n，∴Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12n－1＝n－1－n2nn－1＝－12nn－1.当n＝1时，a1＝12不适合上式．故an＝12，n＝1，－12nn－1，n≥2.[子题1]将母题条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12”改为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0.∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0.即1Sn－1Sn－1＝12.又1S1＝1a1＝12.故数列1Sn是以首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知1Sn＝n2，∴Sn＝2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2nn－1当n＝1时，a1＝2不适合上式，故an＝2，n＝1，－2nn－1，n≥2.[子题2]已知数列{an}满足2an－1－anan－1＝1(n≥2)，a1＝2，证明数列1an－1是等差数列，并求数列{an}的通项公式．解：当n≥2时，an＝2－1an－1，∴1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝11－1an－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝an－1－1an－1－1＝1(常数)．又1a1－1＝1.∴数列1an－1是以首项为1，公差为1的等差数列．∴1an－1＝1＋(n－1)×1，∴an＝n＋1n.等差数列的四种判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．(2)等差中项法：验证2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)都成立．(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断．提醒：要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．考点三等差数列的性质(师生共研)[典例](1)下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析：命题判断过程结论p1：数列{an}是递增数列.由an＋1－an＝d0，知数列{an}是递增数列真命题p