2020届新高考数学艺考生总复习 第五章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法课件

高考总复习艺考生山东版数学第1节数列的概念与简单表示法第五章数列最新考纲核心素养考情聚焦1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数1.由数列的前几项求数列的通项公式，达成数学抽象素养．2.由an与Sn的关系求通项an，发展逻辑推理和数学运算素养．3.由数列的递推关系求数列的通项公式，增强逻辑推理和数学运算素养简单数列的通项公式的求解，数列的前n项和与通项的关系，求数列的各项，及由Sn求an是高考的热点．高考中三种题型都有可能出现，试题难度中等1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)．当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2．数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数有限按项数分类无穷数列项数无限递增数列an＋1an递减数列an＋1an按项与项间的大小关系分类常数列an＋1＝an其中n∈N*有界数列存在正数M，使|an|≤M按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.1.一些常见数列的通项公式(1)数列1,2,3,4，…的通项公式为an＝n；(2)数列2,4,6,8，…的通项公式为an＝2n；(3)数列1,3,5,7，…的通项公式为an＝2n－1；(4)数列1,2,4,8，…的通项公式为an＝2n－1；(5)数列1,4,9,16，…的通项公式为an＝n2；(6)数列1，12，13，14，…的通项公式为an＝1n.(7)数列1，－1,1，－1，…的通项公式为an＝(－1)n－1或(－1)n＋1；(8)数列－1,1，－1,1，…的通项公式为an＝(－1)n.2．典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)累加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1＝anf(n)累乘法a1＝1，an＋1＝2nanan＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)化为等比数列a1＝1，an＋1＝2an＋1an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)化为等差数列a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1其中(1)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的求解方法是：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋pλ－λ，与an＋1＝pan＋q比较即可知只要λ＝qp－1.(2)an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得an＋1pn＋1－anpn＝q，数列anpn为等差数列．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)1,1,1,1，…不能构成一个数列．()(2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．()(5)已知an＋2＝f(an＋1，an)时，如果要确定这个数列，则必须知道初始值a1，a2.()(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√[小题查验]1．(2019·长沙市模拟)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A．an＝(－1)n－1＋1B．an＝2，n为奇数，0，n为偶数C．an＝2sinnπ2D．an＝cos(n－1)π＋1解析：C[对n＝1,2,3,4进行验证，an＝2sinnπ2不合题意，故选C.]2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}中的第2项C．只是数列{an}中的第6项D．是数列{an}中的第2项和第6项解析：D[令an＝n2－8n＋15＝3，整理可得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6.故3是数列{an}中的第2项或第6项，故选D.]3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64解析：A[∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.]4．(人教B版教材例题改编)已知函数f(x)＝x－1x，设an＝f(n)(n∈N*)，则{an}是________数列(填“递增”或“递减”)答案：递增5．在数列{an}中，a1＝1，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100等于________.解析：因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1.两式相加得an＋3＝－an，则an＋6＝－an＋3＝an，即数列{an}的周期为6，所以a100＝a16×6＋4＝a4＝a3－a2＝(a2－a1)－a2＝－a1＝－1.答案：－1考点一由数列的前几项求数列的通项公式(自主练透)[题组集训]1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝0，n为奇数，1，n为偶数，②an＝1＋－1n2，③an＝1＋cosnπ2，④an＝sinnπ2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④解析：A[检验知①②③都是所给数列的通项公式．]2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)1,0,1,0，…；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1，n∈N*.(3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0，所以此数列的一个通项公式an＝1，n为奇数，0，n为偶数.或an＝(－1)n＋112＋12，n∈N*.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1,10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*.用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．[提醒]不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一．考点二由an与Sn的关系求通项an(师生共研)[典例](1)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝_____________.(2)若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋2n＋1，则{an}的通项公式是an＝________.[解析](1)根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，所以S6＝－1－261－2＝－63.(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2.答案：(1)－63(2)6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2.已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an，推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.提醒：在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．[跟踪训练]1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则{an}的通项公式为________.解析：a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.答案：an＝4n－52．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3n＋b，则an＝________.解析：a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.答案：3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.考点三由数列的递推关系求数列的通项公式(多维探究)[命题角度1]形如an＋1＝an＋f(n)，求an1．(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1nn＋1，求数列{an}的通项公式．(2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．解：(1)由题意，得an＋1－an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n－1－1n＋1n－2－1n－1＋…＋12－13＋1－12＋2＝3－1n.(2)由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.[命题角度2]形如an＋1＝anf(n)，求an2．在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.求数列{an}的通项公式．解：由题设知，a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1.∴anan－1＝n＋1n－1.∴anan－1＝n＋1n－1，…，a4a3＝53，a3a2＝42，a2a1＝3.将以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到ana1＝nn＋12.又∵a1＝1，∴an＝nn＋12.[命题角度3]形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.[命题角度4]形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)，求an4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2，求数列{an}的通项公式．解：∵an＋1＝2anan＋2，a1＝1，∴an≠0，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝1，