2020届新高考数学艺考生总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积

高考总复习艺考生山东版数学第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入最新考纲核心素养考情聚焦1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．1.平面向量数量积的运算，达成数学抽象和数学运算素养．高考中有关平面向量的数量积运算包含三类问题：①利用坐标计算平面向量的数量积；②根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中相关向量的数量积；4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件．5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用2.利用数量积求向量夹角和模，提升逻辑推理和数学运算素养．3.平面向量的垂直及应用，增强逻辑推理和数学运算素养③根据数量积求参数值．数量积的运算、投影、模与夹角是高考的热点，有时与三角函数、平面几何、解析几何等结合考查，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题，难度中等1．向量的夹角及范围：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，如图所示，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．设θ是向量a与b的夹角，则θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝0；a与b反向时，夹角θ＝π.2．平面向量的数量积及几何意义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量|a||b|cosθ，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.它的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．平面向量数量积的性质及其坐标运算：已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹角．向量表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y224.平面向量数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数λ，则(1)交换律：a·b＝b·a；(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝()A.2B．2C．52D．50解析：A[a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝－12＋12＝2.]2．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.22B.12C．0D．－1解析：C[a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝12，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.]3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为()A．2B.32C．－2D．－32解析：D[b在a方向上的投影为|b|cos120°＝－32.故选D.]4．(人教A版教材复习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为30°，则|a－b|＝________.答案：15．(2019·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.解析：cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝2×－8＋2×622＋22×－82＋62＝－210.答案：－210考点一平面向量的数量积运算(自主练透)[题组集训]1．(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：B[因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]2．(2019·全国Ⅱ卷)已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：C[∵BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，∴|BC→|＝12＋t－32＝1，∴t＝3，∴BC→＝(1,0)，∴AB→·BC→＝(2,3)·(1,0)＝2.]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.易错警示：(1)在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．考点二利用数量积求向量夹角和模(多维探究)[命题角度1]平面向量的模1．(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析：|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝23.答案：23(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为________.解析：建立如图所示的直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设OA→＝a＝(1,0)，OB→＝b＝(0,1)，OC→＝c＝(x，y)，∴c－a－b＝(x－1，y－1)．∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝x2＋y2，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝2＋1.答案：2＋1利用数量积求向量夹角和模(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．[命题角度2]平面向量的夹角2．(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：A[|BA→|＝1，|BC→|＝1，cos∠ABC＝BA→·BC→|BA→||BC→|＝32.由〈BA→，BC→〉∈[0°，180°]，得∠ABC＝30°.](2)(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：B[∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0.即a·b＝|b|2；∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝|b|22|b|·|b|＝12.故〈a，b〉＝π3，故选B.]根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cosθ＝a·b|a||b|(夹角公式)，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度问题．提醒：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．考点三平面向量的垂直及应用[题组集训]1．(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．8解析：D[由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.]2．(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.答案：－23．在直角三角形ABC中，已知AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，则k的值为________.解析：①当A＝90°时，∵AB→⊥AC→，∴AB→·AC→＝0.∴2×1＋3k＝0，解得k＝－23.②当B＝90°时，∵AB→⊥BC→，又BC→＝AC→－AB→＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，∴AB→·BC→＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，解得k＝113.③当C＝90°时，∵AC→⊥BC→，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，即k2－3k－1＝0.∴k＝3±132.答案：－23或113或3±132.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.