2020届新高考数学艺考生总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量的基本定

高考总复习艺考生山东版数学第2节平面向量的基本定理及坐标表示第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入最新考纲核心素养考情聚焦1.理解平面向量基本定理及其意义．2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．4.能用坐标表示平面向量共线的条件1.平面向量的基本定理的应用，发展直观想象和数学运算素养．2.平面向量的坐标运算，提升数学运算素养．3.平面向量共线的坐标表示，增强数学抽象和数学运算素养高考对平面向量的基本定理与坐标运算的考查主要有以下几方面：①平面向量基本定理及其意义；②用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；③用坐标表示平面向量共线的条件．对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的．考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．已知OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且λ＋μ＝1常被当作隐含条件运用．3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，向量AB→，BC→的夹角为∠ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√[小题查验]1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b等于()A．(5,7)B．(5,9)C．(3,7)D．(3,9)解析：D[2a＋b＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)．故选D.]2．(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)解析：A[根据题意得AB→＝(3,1)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.]3．(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34ACC.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→解析：A[如图，由题意可得BE→＝12BA→＋12BD→＝12BA→＋14BC→＝12BA→＋14BA→＋14AC→＝34BA→＋14AC→，所以EB→＝34AB→－14AC→，故选A.]4．(人教A版教材复习题改编)设M是▱ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝____OM→.答案：45．e1，e2是不共线向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，若b，c为一组基底，则a＝________.解析：设a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，解得λ1＝－118，λ2＝727，∴a＝－118b＋727c.答案：－118b＋727c考点一平面向量基本定理的应用(师生共研)[典例](1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1[解析]D[选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0，无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ＝1，1＝－λ，无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．](2)如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为______.[解析]设|BP→|＝y，|PN→|＝x，则AP→＝AN→＋NP→＝14AC→－xx＋yBN→，①AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋yx＋yBN→，②①×y＋②×x得AP→＝xx＋yAB→＋y4x＋yAC→，令y4x＋y＝211，得y＝83x，代入得m＝311.[答案]311(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[跟踪训练](2019·盐城市模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：由题意可得BE→＝12BA→＋12BO→＝12BA→＋14BD→，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.答案：34考点二平面向量的坐标运算(自主练透)[题组集训]1．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝0，52，则c可用向量a，b表示为()A.12a＋bB．－12a－bC.32a＋12bD.32a－12b解析：A[设c＝xa＋yb，则0，52＝(2x－y，x＋2y)，所以2x－y＝0，x＋2y＝52，解得x＝12，y＝1，则c＝12a＋b.2．已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则第四个顶点D的坐标是________.解析：设顶点D(x，y)．若平行四边形为ABCD，则由AB→＝(1,5)，DC→＝(－3－x,4－y)，得－3－x＝1，4－y＝5，所以x＝－4y＝－1；若平行四边形为ACBD，则由AC→＝(－7,2)，DB→＝(5－x,7－y)，得5－x＝－77－y＝2，所以x＝12，y＝5；若平行四边形为ABDC，则由AB→＝(1,5)，CD→＝(x＋3，y－4)，得x＋3＝1，y－4＝5，所以x＝－2，y＝9.综上所述，第四个顶点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)．答案：(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三平面向量共线的坐标表示(子母变式)[母题]平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[解析](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，得m＝59，n＝89.(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－1613.[子题1]在本例条件下，若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.解：设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝5，得x＝3，y＝－1或x＝5，y＝3.∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．[子题2]在本例条件下，若ma＋nb与a－2b共线，求mn的值．解：ma＋nb＝(3m－n,2m＋2n)，a－2b＝(5，－2)，由题意得－2(3m－n)－5(2m＋2n)＝0.∴mn＝－12.[子题3]若本例条件变为：已知A(3,2)，B(－1,2)，C(4,1)，判断A，B，C三点能否共线．解：AB→＝(－4,0)，AC→＝(1，－1)，∵－4×(－1)－0×1≠0，∴AB→，AC→不共线．∴A，B，C三点不共线．1．向量共线的两种表示形式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．