2020届新高考数学艺考生总复习 第三章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课件

高考总复习艺考生山东版数学第6节正弦定理和余弦定理及其应用第三章三角函数、解三角形最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.正、余弦定理的应用，提升数学抽象和数学运算素养．2.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状，增强逻辑推理和数学运算素养．3.和三角形面积有关的问题，提升逻辑推理和数学运算素养．4.解三角形的实际应用，增强直观想象和数学运算素养正弦定理和余弦定理是历年高考的必考内容，选择题、填空题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用、解三角形实际应用中的距离问题、高度问题，解答题常与三角函数的图象与性质及三角恒等变换相结合，属于中低档题1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC；常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数一解两解一解一解无解在△ABC中，常有以下结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.(5)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(6)∠A∠B⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB.4.解三角形在实际问题中的应用(1)常见的几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的正北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角，方位角的范围是(0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度坡角坡面与水平面的夹角坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比设坡角为α，坡度为i，则i＝hl＝tanα[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(6)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√[小题查验]1．(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为____________．解析：由余弦定理得：36＝c2＋4c2－2·c·2ccosπ3，解得c＝23，∴△ABC的面积S＝12·c·2csinπ3＝12×2×12×32＝63.答案：632．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：A[∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－12ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－140，即90°C180°.∴△ABC是钝角三角形．故选A.]3．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：C[由题可知S△ABC＝12absinC＝a2＋b2－c24，所以a2＋b2－c2＝2absinC.由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC∵C∈(0，π)，∴C＝π4.]4．(人教A版教材练习改编)在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝20，则a＝________.答案：10(32－6)5．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m.解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝ADsin∠ADBsin∠ABD＝1000sin150°sin15°＝500(6＋2)(m)．所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(3＋1)(m)．答案：500(3＋1)考点一正、余弦定理的应用(自主练透)[题组集训]1．(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25解析：A[因为cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×－35＝32，∴c＝AB＝42，选A.]2．(2019·重庆市一模)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若(a－b)(sinA＋sinB)＝c(sinC＋3sinB)，则角A等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：D[∵(a－b)(sinA＋sinB)＝c(sinC＋3sinB)，∴(a－b)(a＋b)＝c(c＋3b)，∴a2－c2－b2＝3bc，由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－32∵A是三角形内角，∴A＝5π6.故选D.]3．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3解析：A[∵asinA－bsinB＝4csinC，∴a2－b2＝4c2，∵cosA＝－14，∴b2＋c2－a22bc＝－14，即－3c22bc＝－14，∴bc＝4×32＝6.](1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(子母变式)[母题]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[解析]B[∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA0，∴sinA＝1，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．][子题1]本例条件不变，若ab＝cosBcosA，判断△ABC的形状．解：由ab＝cosBcosA，得sinAsinB＝cosBcosA，∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B.∵A、B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．[子题2]本例条件不变，若a＝2bcosC，判断△ABC的形状．解：法一：因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得a＝2b·a2＋b2－c22ab，整理得b2＝c2，则此三角形一定是等腰三角形．法二：∵sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.∵－πB－Cπ，∴B－C＝0，B＝C，则此三角形定是等腰三角形．[子题3]本例条件不变，若cbcosA，判断△ABC的形状．解：依题意得sinCsinBcosA，sinCsinBcosA，所以sin(A＋B)sinBcosA.即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA0.所以cosBsinA0.又sinA0，于是有cosB0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．考点三与三角形面积有关的问题(师生共研)[典例](2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[思维导引]由已知条件sinA＋3cosA＝0，先求角A，再由余弦定理求边c；先求△ABC的面积，再利用△ABD面积与△ACD面积的比值求△ABD的面积．[解析](1)由已知得tanA＝－3，所以∠BAC＝2π3在△ABC中，由余弦定理得，28＝4＋c2－4ccos2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6，故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1，又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[跟踪训练](2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可知sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a，由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C＜90°，故12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.