2020届新高考数学艺考生总复习 第三章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图象与性质课件

高考总复习艺考生山东版数学第3节三角函数的图象与性质第三章三角函数、解三角形最新考纲核心素养考情聚焦1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，正切函数在上的性质1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养．2.三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养．3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π22kπ，2kπ＋π无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝sinx的图象介于直线y＝1与y＝－1之间．()(2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．()(3)函数y＝sin2x＋3π2是奇函数．()(4)函数y＝sinx的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．()(5)正切函数在整个定义域内是增函数．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为()A．4πB．2πC．πD.π2解析：C[函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为T＝2π2＝π.]2．(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|解析：A[函数y＝cos2x的周期为π，∴函数f(x)＝|cos2x|的周期为π2，当π4＜x＜π2时，π2＜2x＜π，y＝cos2x递减且为负值，∴函数f(x)＝|cos2x|在区间π4，π2上单调递增．]3．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A．关于直线x＝π3对称B．关于点π3，0对称C．关于直线x＝－π6对称D．关于点π6，0对称解析：B[∵f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sin2x＋π3.经验证可知fπ3＝sin2π3＋π3＝sinπ＝0，即π3，0是函数f(x)的一个对称点．]4．函数y＝tan2x＋π4的图象与x轴交点的坐标是________.解析：由2x＋π4＝kπ(k∈Z)得，x＝kπ2－π8(k∈Z)．∴函数y＝tan2x＋π4的图象与x轴交点的坐标是kπ2－π8，0.答案：kπ2－π8，0(k∈Z)5．[人教A版教材P46A组T2改编]y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是________.解析：当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即y＝3sin2x－π6的值域为－32，3.答案：－32，3考点一三角函数的定义域、值域问题(自主练透)[命题角度1]三角函数的定义域问题(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为__________.(2)函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为____________．(1)解析：法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以函数y＝sinx－cosx的定义域为{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}．法二(利用三角函数线)：画出满足条件sinx≥cosx的角x的终边范围(如图阴影部分所示)，∴函数y＝sinx－cosx的定义域为{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}．法三(利用整体思想)：sinx－cosx＝2sinx－π4≥0，将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.所以函数y＝sinx－cosx的定义域为{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}．(2)由sin2x＞0，9－x2≥0，得2kπ＜2x＜2kπ＋π，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x＜－π2，或0＜x＜π2.∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为x－3≤x＜－π2，或0＜x＜π2.答案：(1){x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}(2)x－3≤x＜－π2，或0＜x＜π2求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解．[命题角度2]三角函数的值域(最值)问题(1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．(2)函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域为____________．解析：(1)f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx，∴f(x)min＝－4.(2)设t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t2－12(－2≤t≤2)，y＝t＋12t2－12＝12(t＋1)2－1.当t＝2时，y取最大值2＋12；当t＝－1时，y取最小值－1.∴函数的值域为－1，12＋2.答案：(1)－4(2)－1，12＋21．求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．考点二三角函数的单调性(师生共研)[典例](1)y＝sinπ3－2x的单调递减区间为________.[解析]y＝－sin2x－π3的减区间是y＝sin2x－π3的增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所给函数的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.[答案]kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z(2)若f(x)＝2sinωx＋1(ω＞0)在区间－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是____________.逻辑推理——三角函数单调性中应用的核心素养具体见下表：信息提取信息解读逻辑推理已知f(x)＝2sinωx＋1(ω＞0)在区间－π2，2π3上是增函数解读一：－π2，2π3是函数f(x)单调递增区间的子区间．解读二：ωx的取值范围是－π2，π2的子区间．解读三：原点到区间－π2，2π3两端点的距离不超过T4推理一：由函数y＝sinx在区间2kπ－π2，2kπ＋π2上单调递增，求得f(x)＝2sinωx＋1(ω＞0)的单调递增区间．求参数ω的取值范围建立关于ω的不等式组推理二：由不等式的基本性质求出ωx的取值范围．推理三：由正弦函数y＝sinx的图形与性质知原点到区间－π2，π2两端点的距离等于T4[解析]方法一：第一步，求出f(x)＝2sinωx＋1(ω＞0)的单调递增区间．由2kπ－π2≤ωx≤2kπ＋π2，k∈Z，得f(x)的增区间是2kπω－π2ω，2kπω＋π2ω，k∈Z.第二步，转化为集合之间的关系，即－π2，2π3是函数f(x)单调递增区间的子区间．∵f(x)在－π2，2π3上是增函数，∴－π2，2π3⊆－π2ω，π2ω.第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．∴－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，∴ω∈0，34.方法二：第一步，由x的取值范围求出ωx(ω＞0)的取值区间．∵x∈－π2，2π3，ω＞0.∴ωx∈－ωπ2，2πω3，第二步，由f(x)在区间－π2，2π3上是增函数得ωx(ω＞0)的取值区间是－π2，π2的子区间．又f(x)在区间－π2，2π3上是增函数，∴－ωπ2，2πω3⊆－π2，π2，第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．则－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω＞0，得0＜ω≤34.方法三：第一步，由f(x)在区间－π2，2π3上是增函数得原点到区间－π2，2π3端点的距离不超过T4.∵f(x)在区间－π2，2π3上是增函数，故原点到区间端点的距离不超过T4，第二步，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．所以π2≤T4，2π3≤T4，得T≥8π3，即2πω≥8π3.又ω＞0，得0＜ω≤34.[答案]ω∈0，34[互动探究]在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间．解析：法一：x∈R时，y＝sinπ3－2x的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.令k＝0得－π12≤x≤5π12；令k＝－1得－13π12≤x≤－7π12，故x∈[－π，0]时，y＝sinπ3－2x的减区间为－π，－7π12，－π12，0.法二：因为－π≤x≤0，所以－73π≤2x－π3≤－π3，结合正弦曲线，由－73π≤2x－π3≤－32π，解得－π≤x≤－712π；由－π2≤2x－π3≤－π3，解得－π12≤x≤0，所以单调减区间为－π，－7π12，－π12，0.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体