2020届新高考数学艺考生总复习 第三章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公

高考总复习艺考生山东版数学第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第三章三角函数、解三角形最新考纲核心素养考情聚焦1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.2.借助单位圆的对称性，能利用三角函数线推导出诱导公式(±α，π±α的正弦、余弦、正切)1.同角三角函数的基本关系，发展数学抽象和数学运算素养．2.三角函数的诱导公式，提升数学抽象和数学运算素养．3.诱导公式、同角三角函数关系式的活用，提升数学抽象和数学运算素养同角三角函数基本关系式及诱导公式多与和角、差角的正弦、余弦、正切公式及倍角公式综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的运算求解能力、等价转化能力及方程思想、整体思想的运用1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限对于kπ2±α，k∈Z诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)sin2θ＋cos2φ＝1.()(2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．()(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．()(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．()(5)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×[小题查验]1．sin2025°的值为()A．－22B．－32C.12D.22解析：A[sin2025°＝sin(5×360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22]．2．(2019·呼和浩特市一模)若sinα＝513，且α为第二象限角，则tanα的值等于()A.125B．－125C.512D．－512解析：D[因为sinα＝513，且α为第二象限角，得cosα＝－1－sin2α＝－1213，所以tanα＝sinαcosα＝－512.故选D.]3．(2019·洛阳市一模)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则cosα＝()A.223B．－223C．－429D.429解析：B[∵sin(π－α)＝sinα＝13，且π2≤α≤π，则cosα＝－1－sin2α＝－223，故选B.]4．(人教A版教材例题改编)已知sinα＝－35，则tanα＝________.答案：34或－345.sin2π－α·cosπ－αcos5π2＋αsin5π2－α＝________.解析：原式＝sin－α·－cosαcosπ2＋αsinπ2－α＝sinαcosα－sinαcosα＝－1.答案：－1考点一同角三角函数的基本关系(子母变式)[母题]已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．[破题关键点](1)法一，利用已知条件及平方关系先求出sinα与cosα的值，再利用商数关系求出tanα的值．法二：利用已知条件及平方关系先求出sinα－cosα的值，再求出sinα与cosα的值，再利用商数关系求出tanα的值．(2)先进行“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，再化弦为切求值．[解析](1)法一：联立方程sinα＋cosα＝15，①sin2α＋cos2α＝1，②由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.法二：∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－1225＜0，且0＜α＜π，∴sinα＞0,cosα＜0,sinα－cosα＞0.∴sinα－cosα＝75.由sinα＋cosα＝15，sinα－cosα＝75，得sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α.∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.[子题1]将母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，求sinα＋cosα的值．解：由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，∴cos2α＝910，易知cosα＜0，∴cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.[子题2]保持母题条件不变，求：(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋2sinαcosα的值．解：由例题可知：tanα＝－43.(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα＝tanα－45tanα＋2＝－43－45×－43＋2＝87.(2)sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanα1＋tan2α＝169－831＋169＝－825.[子题3]若母题条件变为sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5,求tanα的值．解：由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5,得tanα＋33－tanα＝5，即tanα＝2.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.考点二三角函数的诱导公式(自主练透)[题组集训](1)已知cosπ6－α＝23，则sinα－2π3＝________.(2)设f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.(3)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)＝________.解析：(1)∵π6－α＋α－2π3＝－π2，所以sinα－2π3＝sin－π2－π6－α＝－sinπ2＋π6－α＝－cosπ6－α＝－23.(2)∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα(1＋2sinα≠0)，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.(3)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－1－sin2α＝－45，∴tanα＝sinαcosα＝－35－45＝34，∴原式＝cosα－sinαsinα·cosα·tan2α＝－tan2α＝－916.答案：(1)－23(2)3(3)－916诱导公式应用的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π4之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：考点三诱导公式、同角三角函数关系式的活用(师生共研)数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角公式，完成三角运算．[典例](1)已知tanπ6－α＝33，则tan56π＋α＝________.(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.[解析](1)∵5π6＋α＋π6－α＝π，∴tan5π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.(2)因为θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，所以θ＋π4是第一象限角，所以cosθ＋π4＝45，所以sinθ－π4＝sin－π2＋θ＋π4＝－sinπ2－θ＋π4＝－cosθ＋π4＝－45，cosθ－π4＝cos－π2＋θ＋π4＝cosπ2－θ＋π4＝sinθ＋π4＝35所以tanθ－π4＝sinθ－π4cosθ－π4＝－43.答案：(1)－33(2)－43巧用相关角的关系、简化解题过程(1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．(2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．[跟踪训练]1．已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝________.解析：∵π3－α＋π6＋α＝π2，∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.答案：122．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C．0D．－12解析：A[由f(x＋π)＝f(x)＋sinx，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)，所以f236π＝f116π＋2π＝f116π＝fπ＋56π＝f56π＋sin56π.因为当0≤xπ时，f(x)＝0，所以f236π＝0＋12＝12.]