2020届新高考数学艺考生总复习 第七章 平面解析几何 第5节 椭圆课件

高考总复习艺考生山东版数学第5节椭圆第七章平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质1.椭圆的定义及标准方程的掌握，达成数学抽象和直观想象的素养．2.椭圆的几何性质的应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养．3.直线与椭圆的位置关系，提升逻辑推理和数学运算的素养椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识的综合应用是高考命题的热点，常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生的分析问题、解决问题的能力．三种题型都有可能出现，选择题、填空题一般为中低档题型，解答题为高档题．做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c性质离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2椭圆的常用性质(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(5)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(6)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√[小题查验]1．(2019·延安市模拟)方程x2＋y2m＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(－∞，1]C．(0,1)D．(－1,0)解析：C[方程x2＋y2m＝1表示焦点在x轴上的椭圆，可得m∈(0,1)．故选C.]2．(2019·北京东城区模拟)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为()A．2B．4C．8D．22解析：B[因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.]3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223解析：C[由椭圆x2a2＋y24＝1知b2＝4，∴b＝2，c＝2，∴a＝b2＋c2＝22.∴椭圆的离心率e＝ca＝222＝22.]4．(2019·贵阳市监测)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的方程为____________.解析：由题意可知e＝ca＝32，2b＝4，得b＝2，∴ca＝32，a2＝b2＋c2＝4＋c2，解得a＝4，c＝23，∴椭圆的标准方程为x216＋y24＝1.答案：x216＋y24＝15．(人教A版教材习题改编)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_______________________．解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x＞0，所以x＝152，∴P点坐标为152，1或152，－1.答案：152，1或152，－1考点一椭圆的定义及标准方程(自主练透)[题组集训]1．(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：B[由已知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.又|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，∴|BF2|＝12a，|AF2|＝|AF1|＝a，|BF1|＝32a.又|F1F2|＝2.∴a2＋4－a22·2a＝－14a2＋4－94a22×2·12a解得a2＝3，∴b2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.选B.]2．(2019·岳阳市模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2为它的两个焦点，离心率为22，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________.解析：由椭圆的定义及△ABF2的周长知4a＝16，则a＝4，又ca＝22，所以c＝22a＝22，所以b2＝a2－c2＝16－8＝8.当焦点在x轴上时，椭圆C的方程为x216＋y28＝1；当焦点在y轴上时，椭圆C的方程为y216＋x28＝1.综上可知，椭圆C的方程为x216＋y28＝1或x28＋y216＝1.答案：x216＋y28＝1或x28＋y216＝13．(2019·保定市一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.答案：x225＋y216＝14．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2.∵S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9，∴b＝3.答案：31．求椭圆的标准方程有以下五种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．③直接法：若已知中有明显的等量关系，常列出关系，化简可得椭圆方程．④参数法：若已知x，y都与某个参数有关，列出x，y与其关系消去参数可得椭圆方程．⑤相关点法(代入法)：若动点与某个参动点有关，常用动点坐标表示参动点坐标，然后代入参动点满足关系即可得方程．2．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．3．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．提醒：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成x2m2＋y2n2＝1(m2≠n2)的形式．考点二椭圆的几何性质(子母变式)[典例]设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点M在y轴上，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.33B.36C.13D.16直观想象、数学运算——椭圆离心率问题中的核心素养以椭圆的简单几何性质的相关知识为基础，借助椭圆及其他平面几何图形的几何性质和数量关系，建立有关离心率的方程或不等式，通过解方程或不等式求出离心率的取值或范围，增强直观想象、数学运算的核心素养．具体见下表：信息提取信息解读直观想象、数学运算设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点M在y轴上，且∠PF1F2＝30°OM为△PF1F2的中位线，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°，且∠PF1F2＝30°，所以用|PF2|将a和c表示出来求椭圆的离心率使用公式e＝ca求出椭圆的离心率直观想象：数形结合，用|PF2|将a和c表示出来．数学运算：代入公式e＝ca求出离心率的取值[解析]A[如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|＝|PF1|2－|PF2|2＝3|PF2|，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝3|PF2|2，2c＝|F1F2|＝3|PF2|⇒c＝3|PF2|2，则e＝ca＝3|PF2|2·23|PF2|＝33.故选A.][子题1]本例条件变为“若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35”，则椭圆的离心率为________.解析：∵cosα＝55⇒sinα＝255.sin(α＋β)＝35⇒cos(α＋β)＝－45.∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝11525.设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.由正弦定理得r111525＝r2255＝2c35∴r1＋r221525＝2c35⇒e＝ca＝57.答案：57[子题2]本例条件变为“(OP→＋OF2→)·PF2→＝0”则S△F1PF2的面积为________.解析：∵(OP→＋OF2→)·PF2→＝(OP→＋F1O→)·PF2→＝F1P→·PF2→＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.m2＋n2＝4c2，∴(m＋n)2－2mn＝4c2.∴4a2－2mn＝4c2，∴4b2＝2mn.∴mn＝2b2.∴S△F1PF2＝12mn＝b2.答案：b2[子题3]本例条件变为“P到两焦点的距离之比为2∶1”，则离心率范围为________.解析：设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的