2020届新高考数学艺考生总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 二项分布与正态分

高考总复习艺考生山东版数学第7节二项分布与正态分布第九章计数原理、概率、随机变量及其分布最新考纲核心素养考情聚焦1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．能解决一些简单的实际问题．3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用1.条件概率的学习，达成逻辑推理和数学建模的素养．2.相互独立事件同时发生的概率，增强逻辑推理和数学建模的素养．3.独立重复试验与二项分布，提升数学建模、逻辑推理和数学运算的素养．4.正态分布，达成逻辑推理和数学建模的素养新大纲中明确表示要加大对数学应用的考查，二项分布是考查的重点之一.2020年的高考预计考查：1.条件概率的计算．2.事件独立性的应用．3.独立重复试验与二项分布的计算．题型以解答题为主，难度不会太大，属于中档题型1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A).3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布及特点(1)正态曲线的定义(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示．1.A，B中至少有一个发生的事件为A∪B.2．A，B都发生的事件为AB.3．A，B都不发生的事件为A－B－.4．A，B恰有一个发生的事件为(AB－)∪(A－B)．5．A，B至多一个发生的事件为(AB－)∪(A－B)∪(A－B－)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若条件A与B独立，则A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．()(2)相互独立事件就是互斥事件．()(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．()(5)(课本改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.()(6)在正态密度曲线中，当μ一定时，σ越大，图象越低矮，σ越小，图象越瘦高．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)√[小题查验]1．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)＝()A.15B.310C.25D.12解析：D[由题意，P(AB)＝C25C29＝518，P(A)＝C15C19＝59.∴P(B|A)＝PABPA＝12.故选D.]2．(2019·汕头市一模)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A.34B.23C.57D.512解析：D[根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是231－34＋341－23＝512，故选D.]3．(人教A版教材P55T3改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A．0.2B．0.3C．0.38D．0.56解析：C[设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB＋AB，∴P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.]4．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X＜5)＝0.8，则P(1＜X＜3)＝________.解析：∵随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，∴对称轴是x＝3.∵P(X＜5)＝0.8，∴P(X≥5)＝0.2，∴P(1＜X＜3)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.35．甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束)根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是__________________________________________________________．解析：甲队要以4∶1，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：C12·0.6·0.4·0.52·0.6＋0.62·C12·0.5·0.5·0.6＝0.18.答案：0.18考点一条件概率(自主练透)[题组集训]1．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是()A.710B.67C.47D.27解析：C[设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P(AB)＝0.4，P(A)＝0.7，∴P(B|A)＝PABPA＝47，故选C.]2．(2018·马鞍山三模)从集合U＝{x∈Z|1≤x≤15}中任取2个不同的元素，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.15B.37C.715D.12解析：B[集合U中共含有15个元素，其中有8个奇数，7个偶数．∴P(A)＝C28＋C27C215＝49105，P(AB)＝P(B)＝C27C215＝21105，∴P(B|A)＝PABPA＝37.故选B.]3．(2018·赣州二模)如图，ABCD是以O为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH是正方形ABCD的内接正方形，且E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．将一枚针随机掷到圆O内，用M表示事件“针落在正方形ABCD内”，N表示事件“针落在正方形EFGH内”，则P(N|M)＝()A.1πB.22C.12D.14解析：C[由题意，正方形EFGH与正方形ABCD的边长比为22，面积比为12，∴P(N|M)＝12，故选C.]条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.考点二相互独立事件同时发生的概率(子母变式)[母题]甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率；(2)求3人中至少有1人被选中的概率．[解析]记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)3人中有2人被选中的概率P2＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝25×34×1－13＋25×1－34×13＋1－25×34×13＝2360.3人中只有1人被选中的概率P3＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝25×1－34×1－13＋1－25×34×1－13＋1－25×1－34×13＝512.故3人中至少有1人被选中的概率为110＋2360＋512＝910.[跟踪训练](2019·全国Ⅱ卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算，即正难则反的思想方法；(2)已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则有事件表示概率A、B恰有一个发生(AB)∪(AB)P(A)P(B)＋P(A)P(B)A、B中至少有一个发生(AB)∪(AB)∪(AB)P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)A、B中至多有一个发生(AB)∪(AB)∪(AB)P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)考点三独立重复试验与二项分布(师生共研)[典例]甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为14、13、12.甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为23，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为13；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为14，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为12；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为23.(1)设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率；(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，求X的分布列与数学期望．[解析](1)甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为14、13、12.甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为23，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为13；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为14，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为12；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为23.设A为事件“甲的英语高考最