2020届新高考数学艺考生总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节 二项式定理课件

高考总复习艺考生山东版数学第3节二项式定理第九章计数原理、概率、随机变量及其分布最新考纲核心素养考情聚焦1.能用计数原理证明二项式定理．2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1.二项展开式中特定项或系数问题，达成直观想象和数学运算的素养．2.二项式系数及项的系数问题，增强逻辑推理和数学运算的素养．3.多项式展开式中的特定项或系数问题，提升逻辑推理和数学运算的素养预计2020年的高考将从以下四个方面进行考查：1.二项展开式中特定项或系数．2.二项式展开式系数最大项．3.二项式系数与二项式系数和的计算．4.二项式与其他知识的结合．一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，属基础题型1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn.2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ckn＝Cn－kn当k＜n＋12(n∈N*)时，是递增的二项式系数Ckn当k＞n＋12(n∈N*)时，是递减的当n为偶数时，中间的一项n取得最大值增减性二项式系数最大值当n为奇数时，中间的两项与取最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，…一直到Cn－1n，Cnn.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)Cknan－kbk是二项展开式的第k项．()(2)通项Cknan－kbk中的a和b不能互换．()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(5)C1n－2C2n＋3C3n－…＋(－1)n－1nCnn＝0.()(6)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋….()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√[小题查验]1．(人教A版教材例题改编)二项式2x＋1x26的展开式中，常数项的值是()A．240B．60C．192D．180解析：A[二项式2x＋1x26展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r1x2r＝26－rCr6x6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2C26＝16×6×52×1＝240.故选A.]2．若x＋1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120解析：B[二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝Cr6·x6－r·1xr＝Cr6x6－2r，当6－2r＝0，即r＝3时为常数项．T4＝C36＝20.故选B.]3．若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是()A．－2B．－3C．125D．－131解析：C[令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2.又∵(1－2x)7展开式中第r＋1项Tr＋1＝Cr7(－1)r2rxr，∴a0＝C07(－1)020＝1，a8＝C77(－1)727＝－128，∴a1＋a2＋…＋a7＝125.]4．化简C22n＋C42n＋…＋C2k2n＋…＋C2n2n的值为________.解析：(1＋x)2n＝C02n＋C12nx＋C22nx2＋C32nx3＋…＋C2n2nx2n.令x＝1得C02n＋C12n＋C22n＋…＋C2n－12n＋C2n2n＝22n；再令x＝－1得C02n－C12n＋C22n－…＋(－1)rCr2n＋…－C2n－12n＋C2n2n＝0.两式相加得2(C02n＋C22n＋…＋C2n2n)＝22n，又C02n＝1，得C22n＋C42n＋…＋C2k2n＋…＋C2n2n＝22n2－1＝22n－1－1.答案：22n－1－15．(2018·天津卷)在x－12x5的展开式中，x2的系数为________.解析：结合二项式定理的通项公式有：Tr＋1＝Cr5x5－r.－12xr＝－12rCr5，令5－32r＝2可得：r＝2，则x2的系数为－122C25＝14×10＝52.答案：52考点一二项展开式中特定项或系数问题(自主练透)[题组集训]1．(2018·全国Ⅲ卷)x2＋2x5的展开式中的x4系数为()A．10B．20C．40D．80解析：C[x2＋2x5的第k＋1项为Tk＋1＝Ck52kx10－3k.令10－3k＝4，得k＝2.∴x4的系数为C25×22＝40.]2．(2019·内江市三模)x－2x4展开式中的常数项为()A．6B．－6C．24D．－24解析：C[由二项式定理的通项公式可知，x－2x4展开式中通项公式Tr＋1＝Cr4·x4－r·－2xr＝(－2)rCr4x2r－4，当2r－4＝0时，展开式为常数，此时r＝2，展开式的常数项为：T3＝4C24＝24.故选C.]求二项展开式中的项或项的系数的方法(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．提醒：二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念．一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负号)，它与a，b的取值有关，而二项式系数与a，b的取值无关．考点二二项式系数及项的系数问题(师生共研)[典例](1)(2019·马鞍山市二模)二项式3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3B．5C．6D．7解析：D[根据3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20；∴3x＋13x20展开式的通项为Tr＋1＝Cr20·(3x)20－r·13xr＝(3)20－r·Cr20·；要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0,3,6,9,12,15,18；∴x的指数是整数的项共有7项．故选D.](2)(2019·雅安市模拟)已知2x＋1xn展开式的各个二项式系数的和为128，则2x＋1xn的展开式中x2的系数()A．448B．560C．7D．35解析：A[由题意可知，2n＝128，得n＝7.∴2x＋1xn＝2x＋1x7，其通项为Tr＋1＝Cr7·(2x)7－r·1xr＝27－r·Cr7·取7－3r2＝2，得r＝1.∴2x＋1xn的展开式中x2的系数为26×C17＝448.故选A.](3)(2018·洛阳市三模)若(1－2018x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017x2017(x∈R)，则a12018＋a220182＋…＋a201720182017的值为()A．20182017B．1C．0D．－1解析：D[根据(1－2018x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017x2017(x∈R)，令x＝0，可得a0＝1.再令x＝12018，可得1＋a12018＋a220182＋…＋a201720182017＝0，故a12018＋a220182＋…＋a201720182017＝－1，故选D.]1．赋值法研究二项式的系数和问题(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项第n＋12项与第n＋12＋1项的二项式系数相等并最大．3．二项展开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k来，即得．[跟踪训练](2018·朝阳区三模)在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为()A．6B．9C．12D．18解析：B[在二项式x＋3xn的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，∴A＝4n.据二项展开式的二项式系数和为2n，∴B＝2n.∴4n＋2n＝72，解得n＝3.∴x＋3xn＝x＋3x3的展开式的通项为Tr＋1＝Cr3(x)3－r3xr＝3rCr3x3－3r2令3－3r2＝0得r＝1故展开式的常数项为T2＝3C13＝9故选B.]考点三多项式展开式中的特定项或系数问题(多维探究)[命题角度1]几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1.x3－2x4＋x＋1x8的展开式中的常数项为()A．32B．34C．36D．38解析：D[x3－2x4的展开式的通项为Tm＋1＝Cm4(x3)4－m·－2xm＝Cm4(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，x＋1x8的展开式的通项为Tn＋1＝Cn8x8－n1xn＝Cn8x8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为C34(－2)3＋C48＝38.]对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．[跟踪训练](2019·台州市一模)在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项的系数为________.解析：在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项为C02(2x)2－C13(2x)2＋C24(2x)2－C35(2x)2＋C46(2x)2－C57(2x)2＋C68(2x)2，则含x2项的系数为4(1－3＋6－10＋15－21＋28)＝64.答案：64[命题角度2]几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24解析：A[本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．由题意得x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12，故选A.]对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，把每一个因式用二项展开式展开，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．[跟踪训练](2019·潍坊一模)(1＋x)(1－2x)5展开式中x2的系数为________.(用数字填写答案)解析：∵(1－2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5·15－r·(－2x)r＝(－2)r·C