2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及应用课件

高考总复习艺考生山东版数学第9节函数模型及应用第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义1.用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程，达成直观想象素养．2.应用所给函数模型解决实际问题，发展数学建模和数学运算素养．3.构建函数模型解决实际问题，提升数学建模和数学运算素养函数模型的实际应用主要考查利用函数图象刻画实际问题，以选择题的形式出现；以解答题出现的是构建函数模型解决实际问题，综合考查导数、二次函数的图象与性质、基本不等式等，多是解决实际问题中的最值问题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力1．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax3.解决应用问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型；(2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题；(3)求解：求解数学问题，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案．形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a)和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．()(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α0)的增长速度．()(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()(4)幂函数增长比直线增长更快．()(5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√[小题查验]1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()解析：C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]2．(人教A版教材习题改编)下列函数中随x的增大，增长率最终最大的是()A．y＝1000xB．y＝x2C．y＝lnxD．y＝(1.01)x解析：D[当x充分大时，指数函数y＝ax(a＞1)增长最快，因此选D.]3．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A．200只B．300只C．400只D．500只解析：A[由已知得100＝alog3(2＋1)，得a＝100，则当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．故选A.]4．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2000＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500，所以当Q＝300时，L(Q)max＝2500(万元)．答案：25005．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．解析：设矩形花园的宽为ym，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．答案：206．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．答案：2ln21024考点一用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程(自主练透)[题组集训]1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：A[由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；本题选择A选项．]2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是()A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗10L汽油D．某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：D[对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1L汽油，行驶里程都超过5km，则A错误．对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错误．对于C选项：甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1h，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，则C错误．对于选项D：速度在80km/h以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对．]判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点二应用所给函数模型解决实际问题(课堂共研)[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[破题关键点]由所给函数图象可知，当0≤t≤1时，含药量y(微克)与时间t(小时)之间是正比例函数的关系；当t1时，含药量y(微克)与时间t(小时)之间是指数函数的关系．[解析](1)由题图，设y＝kt，0≤t≤1，12t－a，t1，当t＝1时，由y＝4得k＝4，由121－a＝4得a＝3.所以y＝4t，0≤t≤1，12t－3，t1.(2)由y≥0.25得0≤t≤1，4t≥0.25，或t1，12t－3≥0.25，解得116≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．[跟踪训练]里氏震级M的计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．解析：根据题意，由lg1000－lg0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．答案：610000考点三构建函数模型解决实际问题(多维探究)数学建模——函数建模在实际问题中的妙用解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．读题文字语言―→建模数学语言―→求解数学应用―→反馈检验作答[命题角度1]构建二次函数模型1．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式．(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．(ⅰ)若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？(ⅱ)问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解：①设A，B两种产品分别投资x万元，x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x.根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2x(x≥0)．②(ⅰ)由①得f(9)＝2.25，g(9)＝29＝6.所以总利润y＝8.25万元．(ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．则y＝14(18－x)＋2x，0≤x≤18.令x＝t，t∈[0,32]，则y＝14(－t2＋8t＋18)＝－14(t－4)2＋172.所以当t＝4时，ymax＝172＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．[命题角度2]构建指数函数模型2．已知某物体的温度v(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是v＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m0)．(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．解：(1)若m＝2，则v＝2·2t＋21－t＝22t＋12t，当v＝5时，2t＋12t＝52，令2t＝x(x≥1)，则x＋1x＝52，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝12(舍去)，此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即ν≥2恒成立，亦m·2t＋22t≥2恒成立，亦即m≥212t－122