2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课件

高考总复习艺考生山东版数学第8节函数与方程第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性1.判断函数零点的个数，发展直观想象素养．2.确定函数零点所在的区间，达成直观想象和逻辑推理素养．3.函数零点的应用，提升直观想象和逻辑推理素养由零点存在性定理判断零点是否存在和零点所在的区间，求方程的根，函数的零点个数，基本初等函数的图象是高考的热点．以函数的零点，方程的根及函数图象的交点之间的等价转化为桥梁，考查转化与化归思想，考查函数与方程思想，数形结合等思想．本部分内容在高考中以选择题或填空题形式考查的居多，在解答题中也有所体现，难度较大1．函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2103.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点．2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示：所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．3．若函数f(x)在(a，b)上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)0.()(3)函数y＝2sinx－1的零点有无数多个．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[小题查验]1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()解析：C[A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C.]2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：B[易知f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f(－2)＝2－2－60，f(－1)＝2－1－30，f(0)＝20＝10，∴f(－1)·f(0)0，故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．故选B.]3．(人教A版教材例题改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：B[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－30，f(0)＝10，因此函数f(x)有且只有一个零点．]4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为________．解析：由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.答案：1.565．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图象如图所示．直线y＝ax＋2a过定点(－2,0)，在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a2，且a＋2a2，即25a23.答案：25，23考点一确定函数零点所在的区间(自主练透)[题组集训]1．若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：A[∵abc，∴f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.]2．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：B[法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．法二易知f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1－2＝－10，f(2)＝ln20.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．]3．(2019·大理州一模)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－1，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b解析：D[令f(x)＝2x＋x＝0，解得x＜0，令g(x)＝x－1＝0，解得x＝1，由h(x)＝log3x＋x，令h13＝－1＋13＜0，h(1)＝1＞0，又函数h(x)是增函数，因此h(x)的零点x0∈13，1.则b＞c＞a.]确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．考点二判断函数零点的个数(师生共研)[典例]已知f(x)＝|lgx|，x0，2|x|，x≤0，则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．数学抽象、直观想象——确定函数零点个数中的核心素养信息提取信息解读数学抽象、直观想象当x0时，y＝|lgx|的图象是函数y＝lgx的图象在x轴上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称到x轴上方f(x)＝|lgx|，x0，2|x|，x≤0当x≤0时，y＝2|x|＝2－x＝12x的图象就是y＝12x的图象在y轴左侧的部分在同一坐标系中画出函数y＝|lgx|在x0时的图象和函数y＝2|x|在x≤0时的图象函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点函数的零点就是方程的根函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点，即方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的根函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点，也就是方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的根，把f(x)看成一个整体，本方程就是关于f(x)的一元二次方程，通过解方程可以得出f(x)＝1或解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的根，是解适合此方程的x的值，也就是方程f(x)＝或f(x)＝1对应的x的值结合函数f(x)的图象，观察y＝和y＝1与y＝f(x)的图象交点个数零点个数函数的零点个数就是对应方程的根的个数，即方程f(x)＝12或f(x)＝1对应的x的值的个数，转化为y＝12和y＝1与y＝f(x)的图象交点个数，借助图象利用数形结合求解y＝12和y＝1与函数y＝f(x)的图象交点个数之和即为本题的零点个数[解析]第一步作函数y＝f(x)的图象作出函数y＝f(x)的图象．第二步解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝12或f(x)＝1第三步观察y＝12和y＝1与y＝f(x)的图象交点个数由图象知y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．第四步得出函数的零点个数因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．[答案]5判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法(1)直接法：令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)[跟踪训练]1．已知函数f(x)＝x2－1，x≤0，log2x，x0.则函数y＝f(x)的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：C[f(x)＝0时，得x≤0，x2－1＝0或x0，log2x＝0，解得x＝－1或x＝1.故选C.]2．函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是______．解析：函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.答案：2考点三函数零点的应用(子母变式)数学建模——唇齿相依的函数与方程函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程(组)或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．[母题]若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．[解析]令g(x)＝xlnx，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．g′(x)＝lnx＋1，令g′(x)0，即lnx－1，可解得0x1e；令g′(x)0，即lnx－1，可解得x1e，所以，当0x1e时，函数g(x)单调递减；当x1e时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝1e时，g(x)min＝－1e.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－1ea0.[答