2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第5节 对数与对数函数课件

高考总复习艺考生山东版数学第5节对数与对数函数第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a0，且a≠1)1.对数的基本运算，发展数学运算素养．2.对数函数的图象及应用，提升直观想象和数学运算素养．3.对数函数的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养对数及对数的运算性质，以对数函数为载体的对数型函数的图象和性质，考查函数值的大小比较及单调性的应用，尤其是有关对数函数的复合函数是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)两种常见对数：对数形式特点记法常用对数底数为10LgN自然对数底数为eLnN2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaab＝b(a0，且a≠1)．(2)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM(m，n∈R，且m≠0)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质底数a10a1图象定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0性质在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．()(2)log2x2＝2log2x.()(3)当x1时，logax0.()(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．()(5)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√[小题查验]1．(log29)·(log34)等于()A.14B.12C．2D．4解析：D[法一：原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.法二：原式＝2log23·log24log23＝2×2＝4.]2．(2019·龙岩模拟)a＝－log132，b＝3log213，c＝2log123，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a解析：D[a＝－log132＝log32∈12，1，0＜b＝3log213＜3log313＝13，c＝2log123＜0，可得c＜b＜a，故选D.]3．已知lga＋lgb＝0(a0且a≠1，b0且b≠1)，则f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是()4．(人教A版教材习题改编)函数y＝log0.54x－3的定义域为________．解析：由4x－30log0.54x－3≥0，解得x∈34，1.答案：34，1解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称．∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，由f13＝0，得f－13＝0.⇒x2或0x12，∴x∈0，12∪(2，＋∞)．答案：0，12∪(2，＋∞)考点一对数的基本运算(自主练透)[题组集训]1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________.解析：根据题意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7.答案：－72.lg32－lg9＋1lg27＋lg8－lg1000lg0.3·lg1.2＝________.解析：原式＝lg32－2lg3＋132lg3＋3lg2－32lg3－1·lg3＋2lg2－1＝1－lg3·32lg3＋2lg2－1lg3－1·lg3＋2lg2－1＝－32.答案：－323．若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝________.解析：∵14b＝5，∴log145＝b，又log147＝a，∴log3528＝log1428log1435＝log141427log145＋log147＝2－aa＋b.答案：2－aa＋b对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点二对数函数的图象及应用(子母变式)直观想象——数形结合法在对数函数问题中的应用对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．[母题]当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)[破题关键点]方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，利用这两个函数图象的上下位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法．[解析]B[法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在0，12上的图象，可知，f12g12，即2loga12，则a22，所以a的取值范围为22，1.法二：∵0x≤12，∴14x≤2，∴logax4x1，∴0a1，排除选项C，D；取a＝12，x＝12，则有＝2，12＝1，显然4xlogax不成立，排除选项A.][子题1]将母题变为：若不等式x2－logax0对x∈0，12恒成立，则实数a的取值范围是________________________．解析：由x2－logax0得x2logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈0，12时，不等式x2logax恒成立，只需f1(x)＝x2在0，12上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a1时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x∈0，12上恒成立，需f112≤f212，所以有122≤loga12，解得a≥116，∴116≤a1.即实数a的取值范围是116，1.答案：116，1[子题2]将母题变为：当0x≤14时，xlogax，则实数a的取值范围是________．解析：若xlogax在x∈0，14成立，则0a1，且y＝x的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，由图象知14loga14，∴0a1，a1214，解得116a1.即实数a的取值范围是116，1.答案：116，1[子题3]将母题变为：已知函数f(x)＝log2x，x03x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_______．解析：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．答案：a1应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考点三对数函数的性质及应用(师生共研)[命题角度1]比较对数值的大小1．(2016·全国Ⅰ卷)若ab0,0c1，则()A．logaclogbcB．logcalogcbC．acbcD．cacb解析：B[∵0c1，∴当ab1时，logaclogbc，A项错误；∵0c1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又ab0，∴logcalogcb，B项正确；∵0c1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，又∵ab0，∴acbc，C项错误；∵0c1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，又∵ab0，∴cacb，D项错误．故选B.][命题角度2]解简单的对数不等式2．已知f(x)＝logax(a0且a≠1)，如果对于任意的x∈13，2都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围为________．解析：∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如右图．由图知，要使x∈13，2时恒有|f(x)|≤1，只需f13≤1，即－1≤loga13≤1，即logaa－1≤loga13≤logaa.当a1时，得a－1≤13≤a，即a≥3；当0a1时得a－1≥13≥a，得0a≤13.综上所述，a的取值范围是0，13∪[3，＋∞)．答案：0，13∪[3，＋∞)[命题角度3]与对数有关的复合函数问题[命题角度4]利用对数函数的性质求参数4．若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x2(a0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是______．解析：当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)；当x2时，若a∈(0,1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)，由题意可知(3＋loga2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1a≤2.答案：(1,2]对数函数性质及应用中应注意的问题(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．