2020届高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 4-2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件

第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2α＋cos2α＝____．1(2)商数关系2．诱导公式题组一常识题1．(教材改编)已知cosα＝－13，且α为第三象限角，则sinα＝________．【解析】因为α为第三象限角，所以sinα0，所以sinα＝－1－cos2α＝－223.【答案】－2232．(教材改编)已知tanα＝12，则sinα－cosα3sinα＋2cosα＝________．【解析】显然cosα≠0，所以sinα－cosα3sinα＋2cosα＝tanα－13tanα＋2＝12－13×12＋2＝－17.【答案】－173．(教材改编)已知sinα＝13，则cos－3π2＋α＝________．【解析】cos－3π2＋α＝cos3π2－α＝cosπ＋π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα＝－13.【答案】－134．(教材改编)求值：sin(－1200°)·cos585°＋cos(－660°)·sin(－1110°)＝________．【解析】原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(2×360°－135°)＋cos(360°＋300°)·[－sin(3×360°＋30°)]＝－sin120°·cos(－135°)－cos300°·sin30°＝－sin(90°＋30°)·cos(180°－45°)－cos(360°－60°)·sin30°＝－cos30°·(－cos45°)－cos60°·sin30°＝32×22－12×12＝6－14.【答案】6－14题组二常错题◆索引：用平方关系求角时，没有考虑角的终边所在象限导致出错；在奇次式中不会灵活应用平方关系；不会运用消元的思想．5．已知在△ABC中，cosAsinA＝－125，则cosA等于________.【解析】∵A为△ABC的内角，∴sinA0，又cosAsinA＝－125，∴sinA＝－512cosA，∴cosA0.∵sin2A＋cos2A＝1，∴cosA＝－1213.【答案】－12136．已知sinθ＋cosθ＝430θπ4，则sinθ－cosθ的值为________．【解析】法一：因为0θπ4，所以cosθsinθ，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝169，所以2sinθcosθ＝79，所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－79＝29，所以sinθ－cosθ＝－23.法二：因为sinθ＋cosθ＝43，且θ∈0，π4，所以θ＋π4∈π4，π2，sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4＝43，即sinθ＋π4＝223.又cosθ＋π4＝1－sin2θ＋π4＝1－2232＝13，所以sinθ－cosθ＝－(cosθ－sinθ)＝－2cosθ＋π4＝－23.【答案】－237．已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα＝________.【解析】由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，得tanα＋33－tanα＝5，即tanα＝2，所以sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝25.【答案】25考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B.32C．－34D.34(2)(2019·邯郸模拟)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625【解析】(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.(2)∵tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋4tanαtan2α＋1＝1＋4×34342＋1＝6425，故选A.【答案】(1)B(2)A【反思归纳】跟踪训练1(1)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B．－125C.512D．－512(2)已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为()A.23B．－23C.12D．－12【解析】(1)法一：因为α为第四象限的角，故cosα＝1－sin2α＝1－－5132＝1213，所以tanα＝sinαcosα＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sinα＝－513，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tanα＝yx＝－512.故选D.(2)因为(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝169，所以2sinθcosθ＝79，则(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθ·cosθ＝1－2sinθcosθ＝29.又因为θ∈0，π4，所以sinθ＜cosθ，即sinθ－cosθ＜0，所以sinθ－cosθ＝－23.【答案】(1)D(2)B考点二诱导公式的应用【例2】(1)化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)·sin(－261°)的结果为()A．1B．－1C．0D．2(2)已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（kπ＋α）cosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1，2，－2}B．{－1，1}C．{2，－2}D．{1，－1，0，2，－2}【解析】(1)原式＝(－sin1071°)·sin99°＋sin171°·sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.(2)当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.【答案】(1)C(2)C【反思归纳】跟踪训练2(1)(2019·南昌一模)若sinπ4－α＝13，则cosπ4＋α＝________．(2)计算：tan（π＋α）cos（2π＋α）sinα－3π2cos（－α－3π）sin（－3π－α）＝________．【解析】(1)cosπ4＋α＝cosπ2－π4－α＝sinπ4－α＝13.(2)原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos（π＋α）[－sin（3π＋α）]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.【答案】(1)13(2)－1考点三同角关系式与诱导公式的综合应用【例3】(1)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________．(2)已知cosπ2＋α＝2sinα－π2，则sin3（π－α）＋cos（α＋π）5cos5π2－α＋3sin7π2－α的值为________．【解析】(1)由题意知sinθ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cosθ＋π4＞0，所以cosθ＋π4＝1－sin2θ＋π4＝45.sinπ4－θ＝sinπ2－θ－π4＝cosπ4＋θ＝45，cosπ4－θ＝cosπ2－θ－π4＝sinπ4＋θ＝35.∴tanθ－π4＝－tanπ4－θ＝－43.(2)∵cosπ2＋α＝2sinα－π2，∴－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15.sin3（π－α）＋cos（α＋π）5cos52π－α＋3sin72π－α＝sin3α－cosα5sinα－3cosα＝8cos3α－cosα7cosα＝87cos2α－17＝335.【答案】(1)－43(2)335【反思归纳】跟踪训练3(1)已知sinα＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________．(2)(2019·芜湖调研)已知tanx＋π2＝5，则1sinxcosx＝()A.265B．－265C．±265D．－526【解析】(1)∵sinα＝13，α是第二象限角，∴cosα＝－223，∴tanα＝－24，故tan(π－α)＝－tanα＝24.(2)∵tanx＋π2＝sinx＋π2cosx＋π2＝cosx－sinx＝－1tanx＝5，∴tanx＝－15，∴1sinxcosx＝sin2x＋cos2xsinxcosx＝tan2x＋1tanx＝－265，故选B.【答案】(1)24(2)B