2020届高考数学总复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-2 函数的单调性与最值课件 文 新人

第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有_____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有________________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)图象描述自左向右看图象是____________自左向右看图象是_________上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是___________或_______，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_________叫做y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有______________；(2)存在x0∈I，使得______________(3)对于任意的x∈I，都有________________；(4)存在x0∈I，使得________________结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M题组一常识题1．(教材改编)函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数，则a的取值范围是________．【解析】当2a－10，即a12时，f(x)是R上的减函数．【答案】a122．(教材改编)函数f(x)＝(x－2)2＋5(x∈[－3，3])的单调递增区间是________；单调递减区间是________．【解析】由函数f(x)＝(x－2)2＋5(x∈[－3，3])的图象即可得到单调区间．【答案】(2，3][－3，2]【答案】323．(教材改编)函数f(x)＝3x＋1(x∈[2，5])的最大值与最小值之和等于________．【解析】函数f(x)＝3x＋1在[2，5]上是减函数，所以最大值为f(2)＝1，最小值为f(5)＝12.所以最大值与最小值之和为1＋12＝32.4．函数f(x)＝|x－a|＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【解析】因为函数f(x)＝|x－a|＋1的单调递增区间是[a，＋∞)，当f(x)在[2，＋∞)上单调递增时，满足[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤2.【答案】a≤2题组二常错题◆索引：求单调区间忘记定义域导致出错；对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调；利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解；混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念．5．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是__________．【解析】函数f(x)的定义域是(－1，4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－x－322＋254，x∈(－1，4)的单调递减区间为32，4，∴函数f(x)的单调递减区间为32，4.【答案】32，46．已知函数f(x)＝（a－2）x，x≥2，12x－1，x2，满足对任意的实数x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x20成立，则实数a的取值范围为________．【解析】由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有a－2＜0，（a－2）×2≤122－1，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138.【答案】－∞，138【答案】[－1，1)7．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________．【解析】由条件知－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1＞2a，解得－1≤a＜1.8．(1)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是________．(2)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则a的值为________．【解析】(1)函数图象的对称轴为直线x＝1－a，由1－a≥4，得a≤－3.(2)函数图象的对称轴为直线x＝1－a，由1－a＝4，得a＝－3.【答案】(1)a≤－3(2)－3考点一函数单调性的判断【例1】(2019·佛山联考)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．【解析】法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝a（x2－x1）（x1－1）（x2－1），由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递增．法二：(导数法)f′(x)＝（ax）′（x－1）（x－1）2－ax（x－1）′（x－1）2＝a（x－1）－ax（x－1）2＝－a（x－1）2.当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上递增．【反思归纳】跟踪训练1用定义法讨论函数f(x)＝x＋ax(a0)的单调性．【解析】函数的定义域为{x|x≠0}．任取x1，x2∈{x|x≠0}，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2－ax2＝（x1－x2）（x1x2－a）x1·x2＝(x1－x2)1－ax1x2.令x1＝x2＝x0，1－ax20＝0可得到x0＝±a，这样就把f(x)的定义域分为(－∞，－a]，[－a，0)，(0，a]，[a，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．若0x1x2≤a，则x1－x20，0x1x2a，所以x1x2－a0.所以f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2－ax2＝（x1－x2）（x1x2－a）x1·x20，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，a]上单调递减．同理可得，f(x)在[a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a]上单调递增，在[－a，0)上单调递减．故函数f(x)在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．考点二确定函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1.(2)y＝log12(x2－3x＋2)．【解析】(1)由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x＜0.即y＝－（x－1）2＋2，x≥0，－（x＋1）2＋2，x＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2.∴函数y＝log12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log12(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【反思归纳】跟踪训练2(2019·福州模拟)函数y＝log12(2x2－3x＋1)的递减区间为()A．(1，＋∞)B.－∞，34C.12，＋∞D.34，＋∞【解析】由2x2－3x＋1＞0，得函数的定义域为－∞，12∪(1，＋∞)．令t＝2x2－3x＋1，则y＝log12t，∵t＝2x2－3x＋1＝2x－342－18，∴t＝2x2－3x＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y＝log12t在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y＝log12(2x2－3x＋1)的单调减区间为(1，＋∞)．【答案】A考点三函数单调性的应用角度1求函数的值域或最值【例3】(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A．4B．2C．1D．0【解析】设t＝x－1，则f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2，2]．记g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函数．由已知得y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.故选A.【答案】A角度2比较函数值或自变量的大小【例4】已知a＞b＞0，则下列命题成立的是()A．sina＞sinbB．log2a＜log2bC．a12＜b12D.12a＜12b【解析】函数y＝sinx在(0，＋∞)上不是单调函数，所以不能判断出sina与sinb的大小；函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，结合a＞b＞0可得log2a＞log2b；函数y＝x12在(0，＋∞)上单调递增，结合a＞b＞0可得a12＞b12；函数y＝12x是单调递减函数，所以12a＜12b.故选D.【答案】D角度3求解函数不等式【例5】已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，2x－x2，x＜0，函数g(x)＝|f(x)|－1.若g(2－a2)＞g(a)，则实数a的取值范围是()A．(－2，1)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2，2)D．(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)【解析】由题意可知，f(x)为单调递增的奇函数，则g(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增．因为g(2－a2)＞g(a)，所以|2－a2|＞|a|，即(2－a2)2＞a2，解得a＜－2或－1＜a＜1或a＞2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)．故选D.【答案】D角度4利用单调性求参数的取值范围【例6】已知函数f(x)＝ax，x＜0，（a－3）x＋4a，x≥0满足对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0成立，则实数a的取值范围是()A.0，14B．(1，2]C．(1，3)D.12，1【解析】由f（x1）－f（x2）x1－x2＜0，得f(x)在定义域上是减函数，所以0＜a＜1，a－3＜0，4a≤1，解得0＜a≤14，所以a∈0，14.故选A.【答案】A【反思归纳】