2020届高考数学一轮总复习 第一单元 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

高考总复习第（1）轮理科数学第一单元集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．掌握四种命题及其相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个条件的关系．1．命题及其真假(1)命题：在数学上，用表达的，可以判断的叫作命题．(2)真命题：判断为真的语句叫作.(3)假命题：判断为假的语句叫作.语言、符号或式子真假陈述句真命题假命题2．四种命题的形式(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论．(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论．(3)否命题：“若﹁p，则﹁q”，即同时否定原命题的条件和结论．(4)逆否命题：“若﹁q，则﹁p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加以否定．3．四种命题的关系4．四种命题的真假关系(1)互为逆否的两个命题的真假性；(2)互逆或互否的两个命题的真假性.(3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性，逆命题与否命题的真假性.相同没有关系相同相同5．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的条件，同时q是p的条件．(2)如果p⇒q，但qp，则p是q的条件．(3)如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的条件．(4)如果q⇒p，且pq，则p是q的条件．(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要充分不必要充要必要不充分1．若p是q的充分不必要条件，则﹁p是﹁q的条件．2．若p，q以集合的形式出现，记条件p、q对应的集合分别为P，Q，一般地有：若P⊆Q，则p是q的条件；若Q⊆P，则p是q的条件；若PQ，则p是q的条件；若PQ，则p是q的条件；若P＝Q，则p是q的条件．充分必要充分不必要充要必要不充分必要不充分1．下列语句中，不能构成命题的是()A．512B．若1x＝1y，则x＝yC．x0D．若xy，则x2y2解：一个语句是不是命题，关键是看能否判断真假，因为x0无法判断真假，因此不能构成命题．答案：C2．(2018·马鞍山三模)命题p：若ab，则a－1b－1，则命题p的否命题为()A．若ab，则a－1≤b－1B．若a≥b，则a－1b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若ab，则a－1b－1解：根据一个命题的否命题的构成，即将条件和结论均否定，因此所求命题的否命题是“若a≤b，则a－1≤b－1”．答案：C3．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为()A．0B．2C．3D．4解：原命题：若x＝－1，向量a＝(1，－1)，b＝(1，－1)，a与b共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真．逆命题为：若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝－1.当a与b共线时，x(x＋2)＝x，解得x＝0或－1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题．故真命题的个数为2.答案：B4．(2018·天津卷)设x∈R，则“x38”是“|x|2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由x38⇒x2⇒|x|2，反之不成立，故“x38”是“|x|2”的充分不必要条件．答案：A5．(2017·新疆一模)设A，B是两个集合，命题甲：A∩B＝A；命题乙：A⊆B，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为A∩B＝A⇔A⊆B，所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件.答案：C四种命题及其真假判断充要条件的判断根据充要条件求解参数的取值范围考点1·四种命题及其真假判断【例1】(2018·清远期末)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解：“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，由共轭复数的定义可知为真命题，所以逆否命题也为真命题，逆命题为：“复数|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，由1和i的模相等，但它不是共轭复数，可知逆命题为假命题，所以否命题也为假命题．故选B.答案：B【变式探究】1．在下列4个结论中：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；②命题“若m2＋n2＝0，则m，n全为0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m，n全不为0”；③命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为真命题；④“若x1，则x21”的否命题为真命题．其中正确结论的序号是.解：①正确．②不正确，否命题为“若m2＋n2≠0，则m，n不全为0”．③m0时，Δ＝1＋4m0，所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．④逆命题“若x21，则x1”为假命题，所以否命题为假命题．故正确结论的序号为①③.点评：(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可；(2)四种命题的真假成对出现．即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同．当一个命题直接判断不易进行时，可转化判断其等价命题的真假．考点2·充要条件的判断【例2】(1)(2018·天津一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a10”是“S2019S2018”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：(1)若S2019S2018，则a20190，即a1q20180，则a10成立，即必要性成立；若a10，则a1q20180，即a20190，则S2019S2018成立，即充分性成立，则“a10”是“S2019S2018”的充要条件，故选A.(2)因为x＝y⇒cosx＝cosy，而cosx＝cosyx＝y，利用四种命题的等价关系得：cosx≠cosy⇒x≠y，x≠ycosx≠cosy.所以“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要而不充分条件．答案：(1)A(2)B【变式探究】2．(1)(2018·华南师大附中模拟)“(m－1)(a－1)0”是“logam0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)如果a，b是实数，那么“a≠0”是“ab≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：(1)logam0⇔1,1ma或,10,10ma(m－1)(a－1)0⇔1,1ma或.1,1ma所以logam0⇒(m－1)(a－1)0.(m－1)(a－1)0logam0.所以“(m－1)(a－1)0”是“logam0”的必要不充分条件．(2)a＝0⇒ab＝0，但ab＝0a＝0，其逆否命题为ab≠0⇒a≠0，a≠0ab≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件．点评：（1）判断充要条件的方法：①定义法(这是基本方法)；②集合法(根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断)；③转换法．(2)判断充要条件时，要注意如下技巧：①等价化简：先将条件和结论等价化简，然后再根据定义进行判断；②等价转化：根据“四种命题”中互为逆否的两个命题是等价的，把判断命题的正确性，转化为判断其逆否命题的正确性．这种方法特别适合以否定形式给出的命题．考点3·根据充要条件求解参数的取值范围【例3】(2018·铜仁第三次月考)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)，“若﹁p，则﹁q”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____________．解：p对应的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q对应的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，因为﹁p是﹁q的必要不充分条件，所以﹁q⇒﹁p但﹁p﹁q由互为逆否的两个命题的等价关系可知，p⇒q，但qp，所以AB.所以1－m≤－2，1＋m≥10，解得m≥9.检验m＝9时，满足AB.因此，实数m的取值范围是[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)【变式探究】3．(2018·广东佛山模拟)已知p：(x－m)23(x－m)是q：x2＋3x－40的必要不充分条件，则实数m的取值范围为.解：p对应的集合A＝{x|xm或xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－4x1}．由p是q的必要不充分条件可知BA，所以m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.点评：(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将p，q等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．(2)解此类问题要注意：①注意命题等价转化，如将﹁p与﹁q的关系转化为p与q的关系；②注意区间端点值的检验．1．判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断真假．数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题．2．一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律，判断一个命题为真必须经过证明，而判定一个命题为假只需举一个反例就行．3．判断充分条件和必要条件时，常用以下几种方法：(1)定义法：判断A是B的什么条件，实际上就是判断A⇒B或B⇒A是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，如利用其逆否命题进行判断．(3)集合法：利用集合间的包含关系判断．