2020届高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 第28讲 函数y＝Asin（ωx＋φ）的

高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第28讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，理解A、ω、φ的物理意义．2．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx图象间的变换关系．3．会由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象或图象性质特征求函数的解析式．1．y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈[0，＋∞))的物理意义y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)表示一个振动量时，A叫作______，T＝2πω叫作______，f＝1T叫作______，ωx＋φ叫作______，φ叫作______.2．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)列表：x－φωπ－2φ2ωπ－φω3π－2φ2ω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy0A0－A0(2)描点作图．振幅周期频率相位初相3．用“变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象用“变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，有如下两种方案：1．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度(而非φ个单位长度)．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．1．(经典真题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin(π6x＋φ)(|φ|π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝12，φ＝π6B．T＝12，φ＝π3C．T＝12π，φ＝π6D．T＝12π，φ＝π3解：T＝2ππ6＝12，图象过点(0,1)，所以1＝2sinφ，所以sinφ＝12，又|φ|π2，所以φ＝π6.答案：A2．(2016·广州市一模)如果函数f(x)＝sin(ωx＋π6)(ω0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为()A．3B．6C．12D．24解：易知相邻两个零点之间的距离为半个周期，所以T＝2×π6＝π3，所以ω＝2πT＝6.答案：B3．(2018·辽宁六校联考)为了得到函数y＝sin(2x+π3)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动π3个单位长度C．向左平行移动π6个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度解：因为y＝sin(2x+π3)＝sin2(x+π6)，所以将函数y＝sin2x的图象向左平行移动π6个单位长度，可得y＝sin(2x+π3)的图象．答案：C4．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)C．x＝kπ2－π12(k∈Z)D．x＝kπ2＋π12(k∈Z)解：将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y＝2sin2(x＋π12)＝2sin(2x＋π6)的图象．由2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．答案：B5．(2019·衡阳一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(11π24)的值为()A．－62B．－32C．－22D．－1解：显然A＝2，T4＝7π12－π3，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ)，因为f(x)的图象经过点(π3，0)，结合正弦函数的图象特征知，2×π3＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋π3，k∈Z.所以f(x)＝2sin(2x＋2kπ＋π3)，k∈Z，所以f(11π24)＝2sin(11π12＋2kπ＋π3)＝2sin(2kπ＋π＋π4)＝－2sinπ4＝－1.故选D.答案：D“五点法”作图及图象的对称性由图象求解析式及图象变换三角函数性质的综合应用考点1·“五点法”作图及图象的对称性【例1】已知函数y＝sin2x＋3cos2x.(1)求它的振幅、周期、初相及对称轴方程；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象．解：(1)由原函数得y＝2sin(2x＋π3)，所以振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，得到对称轴方程为x＝kπ2＋π12，k∈Z.(2)令X＝2x＋π3，列出下表：x－π6π12π37π125π6X＝2x＋π30π2π3π22πy＝2sin(2x＋π3)020－20描出对应的五点，用光滑曲线连接各点，即得到所作出的图象如下图所示．【变式探究】1．(经典真题)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．解：(1)由条件得解得ω＝2，φ＝－π6，又A＝5，数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin(ωx＋φ)050－50且函数解析式为f(x)＝5sin(2x－π6)．(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－π6)，则g(x)＝5sin(2x＋2θ－π6)．因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z,令2x＋2θ－π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2＋π12－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点(5π12，0)成中心对称，所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝kπ2－π3，k∈Z.由θ0可知，当k＝1时，θ取得最小值π6.点评：(1)三角函数的作图的三个主要步骤：列表、描点、连线，关键是五个点的选取．(2)y＝Asin(ωx＋φ)有无数条对称轴，它们分别过图象的最高点或最低点．考点2·由图象求解析式及图象变换【例2】下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点A．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解：由图象知T＝2πω＝π，所以ω＝2，A＝1，由五点法作图可知2×(－π6)＋φ＝0，所以φ＝π3，所以y＝sin(2x＋π3)．y＝sinx向左平移π3个单位长度得到y＝sin(x＋π3)，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变．由此可知，应选A.答案：A【变式探究】2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)说明y＝f(x)的图象可由y＝sin2x通过怎样的变换得到．解：(1)由题设图象知，周期T＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点(5π12，0)在函数图象上，由五点法作图知，5π6＋φ＝kπ＋π，又0φπ2，所以φ＝π6.又因为点(0,1)在函数图象上，所以Asinπ6＝1，A＝2，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．点评：(1)由图象写解析式，要注意数形结合，要注意它和“五点法”作图的联系．(2)图象变换的两种途径：先相位变换后周期变换(先平移再伸缩)；先周期变换后相位变换(先伸缩再平移)．一般采用先平移再伸缩，要注意每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．考点3·三角函数性质的综合应用【例3】(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f(5π8)＝2，f(11π8)＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝23，φ＝π12B．ω＝23，φ＝－11π12C．ω＝13，φ＝－11π24D．ω＝13，φ＝7π24分析：由f(5π8)＝2，f(11π8)＝0知，5π8和11π8分别是f(x)的一个最大值点和一个零点，但没有给出它们是不是相邻的最大值点与零点，有可能是相邻的，如图1，也可能是不相邻的，如图2.图1图2由此要进行判断，这是求解此题的一个难点．解：设f(x)的周期为T，因为f(5π8)＝2，f(11π8)＝0，若5π8和11π8不是相邻的最值点和零点，则11π8－5π8≥34T，所以T≤π，与T2π矛盾．若5π8和11π8是相邻的最值点和零点时，由T4＝11π8－5π8＝3π4，T＝3π，满足f(x)的最小正周期大于2π，所以ω＝2π3π＝23，所以f(x)＝2sin(23x＋φ)．所以2sin(23×5π8＋φ)＝2，得φ＝2kπ＋π12，k∈Z.又|φ|＜π，所以取k＝0，得φ＝π12.答案：A【变式探究】3．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)．若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)＝f(2π3)＝－f(π6)，则f(x)的最小正周期为.解：记f(x)的最小正周期为T.由题意知T2≥π2－π6＝π3.又f(π2)＝f(2π3)＝－f(π6)，且2π3－π2＝π6，可作示意图如图所示(一种情况)：所以x1＝12(π2＋π6)＝π3，x2＝12(π2＋2π3)＝7π12，所以T4＝x2－x1＝7π12－π3＝π4，所以T＝π.点评：(1)要善于利用f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象直观性地得到函数的性质，如：①图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为半周期；②两相邻的对称轴之间的距离为半周期；③对称中心都是它们的零点；④对称轴都经过它们的最高点或最低点，且与x轴垂直等．(2)要注意思维的严密性，求解的严谨性，如给出两零点是不是相邻的两零点等条件，要注意根据题意进行判断．1．五点法作图时要注意五个点的选取，一般是令ωx＋φ取0，π2，π，3π2，2π，再算出相应的x值，然后列表描点作图．2．函数图象变换主要是平移变换与伸缩变换，要注意平移与伸缩的多少及方向，并注意变换的顺序．如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．3．给出y＝Asin(ωx＋φ)型的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)作为突破口，要从图象的升降找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊点和特殊量．4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过图象上坐标为(x，±A)且与x轴垂直的直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期．