2020届高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 第23讲 同角三角函数的基本关系与诱导公

高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第23讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式．2．能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值．sin2α＋cos2α＝11．同角三角函数的基本关系式平方关系：_________________；商数关系：_______________.2．诱导公式公式一：(其中k∈Z)sin(2kπ＋α)＝_______，cos(2kπ＋α)＝_______，tan(2kπ＋α)＝_______.公式二：sin(－α)＝_________，cos(－α)＝_________，tan(－α)＝_________公式三：sin(π－α)＝_________，cos(π－α)＝_________，tan(π－α)＝_________.公式四：sin(π＋α)＝_________，cos(π＋α)＝_________，tan(π＋α)＝_________.公式五：sin(π2－α)＝_________，cos(π2－α)＝_________.公式六：sin(π2＋α)＝_________，cos(π2＋α)＝_________.1．同角关系的常用变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα＝1±sin2α.(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2.(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.2．诱导公式的记忆(1)2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(2)π2±α，3π2±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．可采用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆．1．已知sinα＝255，π2≤α≤π，则tanα＝()A．－2B．2C.12D．－12解：因为cosα＝－1－sin2α＝－55，所以tanα＝sinαcosα＝－2.答案：A2．(2019·南允模拟)α是第四象限角，tanα＝－43，则sinα＝()A.45B．－45C.35D．－35解：(方法1)因为tanα＝－43，所以sinαcosα＝－43，所以cosα＝－34sinα，代入sin2α＋cos2α＝1得sinα＝±45，又α是第四象限角，所以sinα＝－45.(方法2)因为tanα＝－45，且α是第四象限角，所以可设y＝－4，x＝3，所以r＝x2＋y2＝5，所以sinα＝yr＝－45.答案：B3．若sin(π＋α)＝－45，则cos(32π－α)＝()A．－45B．－35C.45D.35解：因为sin(π＋α)＝－sinα＝－45，所以cos(3π2－α)＝－sinα＝－45.答案：A4．若cos(π4＋x)＝45，则sin(π4－x)＝()A.35B．－35C.45D．－45答案：C解：(方法1)因为π4－x＝π2－(π4＋x)，所以sin(π4－x)＝sin[π2－(π4＋x)]＝cos(π4＋x)＝45.(方法2)设π4＋x＝α，x＝α－π4，且cosα＝45，所以sin(π4－x)＝sin[π4－(α－π4)]＝sin(π2－α)＝cosα＝45.5．tan600°的值为()A．－3B.3C．－33D.33解：tan600°＝tan(720°－120°)＝－tan120°＝tan60°＝3.答案：B诱导公式的应用同角三角关系的应用sinα±cosα、sinαcosα关系的应用考点1·诱导公式的应用【例1】(1)已知角α终边上一点P(－4,3)，则cosπ2＋α·sin－π－αcos11π2－α·sin9π2＋α的值为.(2)cos(－173π)的值为__________．解：(1)原式＝－sinαsinα－sinαcosα＝tanα.根据三角函数定义得tanα＝－34.故原式的值为－34.(2)cos(－173π)＝cos17π3＝cos(2×2π＋5π3)＝cos5π3＝cos(2π－π3)＝cosπ3＝12.答案：(1)－34(2)12【变式探究】1．(1)(2018·深圳一模)已知sin(π6－x)＝12，则sin(19π6－x)＋sin2(－2π3＋x)的值为()A.14B.34C．－14D．－12(2)sin(－176π)的值为_______.解：(1)(方法1)(采用角的配凑)原式＝sin[3π＋(π6－x)]＋sin2[－π2－(π6－x)]＝－sin(π6－x)＋cos2(π6－x)＝－sin(π6－x)＋1－sin2(π6－x)＝－12＋1－14＝14.解：(方法2)(采用换元法)设π6－x＝θ，则sinθ＝12，x＝π6－θ，所以原式＝sin(3π＋θ)＋sin2(－π2－θ)＝－sinθ＋cos2θ＝－sinθ＋1－sin2θ＝－12＋1－14＝14.(2)sin(－176π)＝－sin176π＝－sin(2π＋56π)＝－sin56π＝－sin(π－π6)＝－sinπ6＝－12.点评：(1)应用诱导公式时，需要准确记忆诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键．(2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负——脱周——化锐”．注意：①已知某一角的三角函数值求值时，要注意考察角之间的联系，观察“互补”“互余”是常用的视角．②采用换元法，可避免“配凑”的难点，快速找到求解途径.考点2·同角三角关系的应用【例2】已知tanαtanα－1＝－1，则：(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝___________；(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝___________.解：由已知，得tanα＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝3sin2α＋sinαcosα＋2cos2α＝3sin2α＋sinαcosα＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋tanα＋2tan2α＋1＝3122＋12＋2122＋1＝135.答案：(1)－53(2)135【变式探究】2．(1)若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sin2θ＝()A．1B.13C.12D.35(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625解：(1)因为sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，所以tanθ＋1tanθ－1＝2，解得tanθ＝3，所以sin2θ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθtan2θ＋1＝2×332＋1＝35.(2)因为tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋4tanαtan2α＋1＝1＋4×34342＋1＝6425.点评：(1)齐次式(或可化为齐次式)常转化为正切进行处理．(2)注意“1”的运用，如1＝sin2α＋cos2α或1＝(sin2α＋cos2α)2等．考点3·sinα±cosα、sinαcosα关系的应用【例3】已知sinα＋cosα＝23(π2απ)．求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3(π2－α)＋cos3(π2＋α)．解：因为sinα＋cosα＝23，①将①两边平方，得1＋2sinαcosα＝29，故2sinαcosα＝－79，又π2απ，所以sinα0，cosα0.(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－(－79)＝169，所以sinα－cosα＝43.(2)sin3(π2－α)＋cos3(π2＋α)＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosαsinα＋sin2α)＝－43×(1－718)＝－2227.【变式探究】3．(2019·合肥名校联考)已知sinα＋cosα＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝()A.7B．－7C.3D．－3解：因为sinα＋cosα＝12，所以1＋2sinαcosα＝14，所以sinαcosα＝－380，因为α∈(0，π)，所以sinα0，cosα0，所以cosα－sinα＝－cosα－sinα2＝－1－2sinαcosα＝－72，所以1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.点评：(1)对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，可“知一求二”，即已知其中一个式子的值，可求出另外两个式子的值．(2)注意符号的选取，如由sinα＋cosα求sinα－cosα时，到底取“＋”还是取“－”要根据α的取值范围确定．1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的判断，求任意角的三角函数值的问题，都可通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，其步骤是“去负——脱周——化锐”，从而求出值来．2．掌握一些特殊角的三角函数值，要做到“见角知值，见值知角”，如：角α0°30°45°60°90°120°150°180°270°角α的弧度数0π6π4π3π22π35π6π3π2sinα0122232132120－1cosα13222120－12－32－10tanα03313不存在－3－330不存在3.同角关系的主要应用(1)已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．要特别注意符号的选取．(2)关于sinα，cosα的齐次式可化为正切处理．(3)对于sinαcosα，sinα＋cosα，sinα－cosα，借助方程思想可知一求二．