2020届高考数学一轮总复习 第十单元 计数原理 、概率与统计 第80讲 概率与统计的综合问题课件

高考总复习第（1）轮理科数学第十单元计数原理、概率与统计第80讲概率与统计的综合问题1．进一步掌握概率与统计的基本知识，会处理概率与统计的综合问题．2．树立概率的应用意识，会利用概率知识解决生活中的实际应用问题．3．会解决概率与其他知识联系的问题，增强综合运用知识的能力．1．三种常用的抽样方法：①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样．2．三种常用统计图表：①频率分布表；②频率分布直方图；③茎叶图．3．两种常用的数字特征：(1)样本数据的平均数与方差：①平均数：n个数据x1，x2，…，xn的平均数是x－＝x1＋x2＋…＋xnn；②方差：n个数据x1，x2，…，xn的方差是s2＝x1－x－2＋x2－x－2＋…＋xn－x－2n.(2)离散型随机变量的均值(期望)与方差：若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn①均值：EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；②方差：DX＝(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xn－EX)2pn.4．几个重要的概率模型：①古典概型；②几何概型；③互斥事件的概率；④独立事件的概率．5．几个重要的分布：①超几何分布；②二项分布；③正态分布．1．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表所示．已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为()一年级二年级三年级女生373xy男生377370zA.12B．16C．18D．24解：由x2000＝0.19，得x＝2000×0.19＝380，三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，设应在三年级抽取m人，则m500＝642000，解得m＝16.答案：B2．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若从成绩不低于60分的学生中随机选取1人,则该学生语文成绩不低于90分的概率为()A.19B.110C.119D.120解：由20a＋0.4＋0.3＋0.2＝1，所以a＝0.005.成绩低于60分的人数为0.005×10×100＝5人，所以成绩不低于60分的人数为95人，成绩不低于90分的人数＝低于60分的人数＝5人，所以所求概率P＝595＝119.答案：C【例1】(经典真题)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内销售该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的概率)，求利润T的数学期望．分析：(1)根据题意购进了130t，应分两段进行求解；(2)运用得出的函数结合频率分布直方图求出范围，然后估计概率；(3)先找出所有的T的取值，然后列出分布列，求出数学期望．解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝800X－39000，100≤X130，65000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.【变式探究】1．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．点评：(1)高考概率统计试题，既注意概率、统计知识之间的纵向联系，还注意知识之间的横向联系，重视运用数学知识分析问题、解决实际问题的能力的考查．(2)在进行概率与统计知识复习时，不仅要注意概率与统计的综合，还要注意与其他知识之间的综合．【例2】(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得右面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解：(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.【变式探究】2．(2018·江淮十校第一次联考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X8080≤X≤120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)依题意P1＝P(40X80)＝1050＝15，P2＝P(80≤X≤120)＝3550＝710，P3＝P(X120)＝550＝110.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：P＝C04(1－P3)4＋C14(1－P3)3P3＝(910)4＋4×(910)3×110＝947710000＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)，由于水库年入流量总大于40，所以至少安装1台.①安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，EY＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形：当40X80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40X80)＝P1＝0.2.当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝P2＋P3＝0.8.所以Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以EY＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形：当40X80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800×2＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40X80)＝P1＝0.2.当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝P2＝0.7.当X120时，三台发电机运行，此时y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X120)＝P3＝0.1.所以Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以EY＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装2台发电机．点评：(1)概率统计问题常以生产、生活中的实际问题作为背景，考查概率统计的思想，其难点是将实际问题抽象、转化为概率、统计问题，要重视阅读理解，审题能力的培养，重视概率、统计思想的建立．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定的平均程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中