2020届高考数学一轮总复习 第十单元 计数原理 、概率与统计 第73讲 二项式定理课件 理 新人教

高考总复习第（1）轮理科数学第十单元计数原理、概率与统计第73讲二项式定理1．掌握二项式定理和二项展开式的性质．2．会求二项展开式的有关特定项或特定项的系数．3．会处理展开式的系数和、二项式系数和等问题．二项展开式1．二项式定理(1)对于n∈N*，(a＋b)n＝，这个公式所表示的定理叫作二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的.(2)(a＋b)n展开式的第r＋1项(通项)Tr＋1＝；(a－b)n的展开式的第r＋1项Tr＋1＝.二项式展开式中的Crn(r＝0,1,2,3，…，n)叫作二项式系数，要分清展开式中某一项的系数与该项的二项式系数．2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“”的两项的二项式系数相等，即.(2)增减性与最大值：当k＜n＋12时，Ckn是；当k＞n＋12时，Ckn是，且在取到最大值．当二项式的幂指数是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为；当二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数相等且最大，最大值为.等距离逐渐增大的逐渐减小的中间(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于，即.二项展开式中，各偶数项二项式系数和奇数项二项式系数和，即.等于1.设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝.解：此题为二项式定理的有关问题，因此要对所给式子变形、添项，以致可以逆向运用二项式定理；怎么添，怎么变可以写出二项式定理，然后对照着拼凑．C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝16(C1n61＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n)]＝16[(C0n60＋C1n61＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n)－C0n60]＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．答案：16(7n－1)2．(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数为，第4项的系数为.解：展开式的第4项为T4＝C37(2x)3＝280x3，其第4项的二项式系数为C37＝35，第4项的系数为C37·23＝280.答案：352803．(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是.(用数字填写答案)解：因为通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(x)r＝25－r·Cr5·x5－r2.令5－r2＝3，得r＝4.故x3的系数为25－4·C45＝2C45＝10.答案：104．(经典真题)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212解：由C3n＝C7n，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.答案：A5．已知(x＋33x)n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于()A．4B．5C．6D．7解：各项系数和为(1＋3)n＝22n，二项式系数和为2n.由22n2n＝64，得n＝6.答案：C求与特定项相关的量二项展开式中的系数和问题二项式系数的最值问题考点1·求与特定项相关的量【例1】(1)(2018·天津卷)在(x－12x)5的展开式中，x2的系数为________．(2)(2017·全国卷Ⅰ)(1＋1x2)(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35解：(1)(x－12x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5x5－r(－12)r·x－r2＝(－12)rCr5x5－3r2.令5－3r2＝2，解得r＝2.故展开式中x2的系数为(－12)2C25＝52.(2)因为(1＋1x2)(1＋x)6＝(1＋x)6＋1x2(1＋x)6.所以(1＋1x2)(1＋x)6展开式含x2的项为(1＋x)6的展开式中含x2和x4项的和．因为(1＋x)6的通项为Cr6xr，所以(1＋1x2)(1＋x)6展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以(1＋1x2)(1＋x)6展开式中x2的系数为30.答案：(1)52(2)C【变式探究】1．(1)(2018·全国卷Ⅲ)(x2＋2x)5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80(2)(经典真题)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解：(1)(x2＋2x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·(2x)r＝Cr5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C25·22＝40.故选C.(2)(方法1)因为(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，所以展开式中含x5y2的项包含在C25(x2＋x)3y2中．而(x2＋x)3＝x6＋3x5＋3x4＋x3，所以x5y2的系数为3×10＝30.(方法2)在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y.故x5y2的系数为C25C13C22＝30.答案:(1)C(2)C点评：(1)求形如(a＋b)n(n∈N*)的式子的特定项的相关量(如常数项、参数值、特定项等)的基本步骤：第一步，写出通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr.第二步，根据题目相关条件，列出相应方程(组)或不等式(组)，求解出r；第三步，把r代入通项公式中求相关量．(2)求形如(a＋b)m(c＋d)n(n，m∈N*)式子中与特定项相关的量，其步骤是：第一步，利用整式的乘法公式进行化简，或将(a＋b)m和(c＋d)n分别用二项式定理展开．第二步，根据特定项的次数，分析特定项由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项相加减即可得到特定项．(3)形如(a＋b＋c)n(n∈N*)型的问题，常通过配方、分解因式或将其中两项看作一项转化为上述类型进行求解．考点2·二项展开式中的系数和问题【例2】(1)(2018·广东七校联考)二项式(1x－2x2)9展开式中，除常数项外，各项系数的和为()A.－671B.671C.672D.673(2)(经典真题)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝__________.解：(1)令x＝1，得(1－2)9＝－1.即所有项的系数和为－1.(1x－2x2)9展开式的通项为Tr＋1＝Cr9(1x)9－r(－2x2)r＝(－2)rCr9x3r－9，令3r－9＝0，得r＝3.所以即T4＝C39(－2)3＝－672.设展开式中除常数项外的各项系数的和为A，则A＋(－672)＝－1，所以A＝671.(2)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝16(a＋1)，令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a5＝0，所以a1＋a3＋a5＝8(a＋1)＝32，所以a＋1＝4，所以a＝3.答案：(1)B(2)3【变式探究】2．如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则：(1)a0＋a1＋…＋a7的值为；(2)a0＋a2＋a4＋a6的值为；(3)a1＋a3＋a5＋a7的值为；(4)各项二项式系数和为.(用数字作答)解：(1)令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝－1.①(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2187，②①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋2187，所以a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋21872＝1093.(3)①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－2187，所以a1＋a3＋a5＋a7＝－1－21872＝－1094.(4)各二项式系数和为C07＋C17＋…＋C77＝27＝128.答案:(1)－1(2)1093(3)－1094(4)128点评：求二项展开式中的系数和或部分系数和，通常利用赋值法．令x＝0得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇数次项系数之和的差．考点3·二项式系数的最值问题【例3】(经典真题)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8解：(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为Cm2m，所以a＝Cm2m，同理，b＝Cm＋12m＋1，因为13a＝7b，所以13·Cm2m＝7·Cm＋12m＋1，所以13·2m！m！m！＝7·2m＋1！m＋1！m！，所以m＝6.答案：B【变式探究】3．已知(12＋2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意可知C4n＋C6n＝2C5n⇒n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T7－12＋1和T7＋12＋1，即T4和T5.T4＝C37(12)4·(2x)3＝352x3；T5＝C47(12)3·(2x)4＝70x4.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T142＋1，即T8.T8＝C714(12)7·(2x)7＝3432x7.点评：(1)本题考查二项式系数的最值及组合数公式的应用和计算，通过组合数的化简求值，考查计算能力和转化意识．(2)求二项式系数．．．．．的最值问题，首先要注意幂指数n的奇偶，利用二项式系数的性质求解．当n为偶数时，中间一项(第n2＋1项)的二项式系数2Cnn取得最大值；当n为奇数时，中间两项(第n－12＋1项和n＋12＋1项)的二项式系数12Cnn，12Cnn相等，同时取得最大值．1．二项式定理是一个恒等式，根据恒等式的意义及性质，可得到处理二项式定理的有关问题的两个重要方法：赋值法和比较系数法，它们是证明有关恒等式、求系数和、计算组合数和式的值的有效方法．2．利用通项公式求二项式中的指定项(如常数项、系数最大的项、有理项等)或相关项的系数是二项式定理的基本问题，要正确区分求展开式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念的异同．3．对于乘积型、三项式等，都是化归为二项式来处理，要注意总结常用的化归的方法和技巧．4．求展开式各项系数之和的基本方法是利用恒等式的性质，采用赋值法来解决．一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为f1－f－12，偶数项系数和为f1＋f－12.5．求展开式系数的最大问题，首先要弄清所求问题是“求展开式系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个．对于二项式系数最大问题，要依据(a＋b)n中n的奇偶性及二项式系数的性质求解．若求系数ak最大，只需要解不等式组ak≥ak－1，ak≥ak＋1求得答案．