2020届高考数学一轮总复习 第三单元 导数及其应用 第21讲 定积分课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第三单元导数及其应用第21讲定积分1．了解定积分的实际背景、基本思想、概念．2．了解微积分的基本定理的含义．3．会计算简单函数的定积分．1.定积分的定义(1)分割：n等分区间[a,b]；(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi](i＝1,2,…,n)；(3)求和：i＝1nb－anf(ξi)；(4)取极限：abf(x)dx＝limn→∞i＝1nf(ξi)b－an.面积代数和积分值相反数积分值2.定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间[a，b]上连续且恒为正时，定积分abf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(图(1)中阴影部分所示)的________.(2)一般情况下，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间的曲边梯形(图(2)中阴影部分所示)面积的________，其中在x轴上方的面积等于该区间上的________，在x轴下方的面积等于该区间上的________的________F(b)－F(a)F(b)－F(a)3.定积分的基本性质(1)abkf(x)dx＝______________(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝__________________；(3)abf(x)dx＝_____________________(其中acb)．4.微定积分的基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝___________，这个结论叫作微积分基本定理．即abf(x)dx＝________＝___________.5.定积分的简单应用(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积；(2)定积分在物理中的应用：求变速直线运动的路程s＝abv(t)dt，其中v(t)为速度函数．函数f(x)在闭区间[－a，a](a0)上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则()daafxx＝20af(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则()daafxx＝0.1.设函数f(x)在[a，b]上连续，将[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则abf(x)dx是()A.limn→∞i＝1nf(ξi)B.limn→∞i＝1nf(ξi)·b－anC.limn→∞i＝1nf(ξi)·ξiD.limn→∞i＝1nf(ξi)·(ξi－ξi－1)答案：B2.定积分11|x|dx的值为()A.4B.2C.1D.12解：(方法1)利用定积分的几何意义：如图，定积分的值为下图中阴影部分的面积．所以11|x|dx＝2×12×1×1＝1.(方法2)利用定积分的性质：因为f(x)＝|x|＝－x，－1≤x0，x，0≤x≤1.所以11|x|dx＝01(－x)dx＋10xdx＝－20112x＋21012x＝－12(0－1)＋12(1－0)＝1.答案：D3.若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A.S1S2S3B．S2S1S3C.S2S3S1D．S3S2S1解：因为S1＝12x2dx＝13321x＝73，S2＝121xdx＝ln21x＝ln2，S3＝12exdx＝21ex＝e2－e，且e2－e＝e(e－1)e73ln2.答案：B4.(经典真题)02(x－1)dx＝___________.解：02(x－1)dx＝(12x2－x)20＝12×22－2＝0.答案：05.(2019·唐山一模)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为__________.解：如图，阴影部分的面积即为所求．由y＝x2，y＝x，得A(1,1)．故S＝01(x－x2)dx＝(12x2－13x3)|10＝16.答案：16定积分的计算定积分的应用——求图形面积定积分的应用——求变速运动的路程考点1·定积分的计算【例1】计算下列定积分：(1)20(sinx－2cosx)dx＝_________；(2)(2017·江西九校联考)01(2x＋1－x2)dx＝.解：(1)20(sinx－2cosx)dx＝20sinxdx－220cosxdx＝(－cosx)－2sinx＝－cosπ2－(－cos0)－2(sinπ2－sin0)＝－1.(2)011－x2dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以011－x2dx＝π4.又012xdx＝x210＝1.所以01(2x＋1－x2)dx＝012xdx＋011－x2dx＝1＋π4.答案：(1)－1(2)1＋π4【变式探究】1．计算下列定积分：(1)1e(x＋1x＋1x2)dx＝__________；(2)01(1－x－12－2x)dx＝___________.解：(1)1e(x＋1x＋1x2)dx＝1exdx＋1e1xdx＋1e1x2dx＝12x2|e1＋lnx|e1－1x|e1＝12(e2－1)＋(lne－ln1)－(1e－1)＝12e2－1e＋32.(2)因为01(1－x－12－2x)dx＝011－x－12dx－012xdx，由y＝1－x－12，得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，根据积分范围知0≤x≤1，所以011－x－12dx表示圆心在(1,0)，半径为1的四分之一圆的面积，所以011－x－12dx＝π4.又012xdx＝x2|10＝1，所以01(1－x－12－2x)dx＝π4－1.点评：(1)计算定积分的基本方法有：①利用微积分基本定理；②利用定积分的几何意义．(2)利用微积分基本定理的基本步骤：①求f(x)的一个原函数F(x)，②计算F(b)－F(a)．其关键是求出函数f(x)的一个原函数F(x)，即求满足F′(x)＝f(x)的原函数F(x)．可利用求导运算与积分互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的运算法则从反方向上求出F(x)．(3)对函数图象与圆有关的定积分可以考虑利用定积分的几何意义求解．考点2·定积分的应用——求图形面积【例2】(2019·广西玉林一模)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴围成的图形的面积为()A.103B．4C.163D．6解：如图，阴影部分的面积为所求．由y＝x，y＝x－2，得x＝4，所以所求图的面积为04(x－x＋2)dx＝(2332x－12x2＋2x)|40＝163.答案：C【变式探究】2.(2019·陕西一模)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．4解：画出图形如右：由y＝4x，y＝x3，得4x＝x3，解得x＝0或x＝±2.所以S＝02(4x－x3)dx＝(2x2－14x4)|20＝4.点评：用定积分求图形面积的一般步骤：(1)画出图形，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，确定积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．考点3·定积分的应用——求变速运动的路程【例3】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s,v的单位：m/s)行驶而停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2解：令v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，得t＝4(舍去负值)．则汽车的刹车距离是04(7－3t＋251＋t)dt＝[7t－32t2＋25ln(1＋t)]|40＝4＋25ln5.答案：C【变式探究】3．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间运动的路程为_________.解：v(t)＝2t0≤t≤121t≤313t＋13t≤6，由变速直线运动的路程公式，可得s＝612v(t)dt＝1122tdt＋132dt＋36(13t＋1)dt＝494(m)．所以物体在12s～6s间运动的路程是494m.点评：物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时的结束和开始的时间．1．定积分的求法：(1)利用微积分基本定理：①求f(x)的一个原函数F(x)，②计算F(b)－F(a)．其中关键是原函数，常见函数的原函数总结如下：xmdx＝1m＋1xm＋1＋C(x0，m∈Q且m≠－1)；1xdx＝ln|x|＋C;exdx＝ex＋C；axdx＝axlna＋C(a0，且a≠1);cosxdx＝sinx＋C；sinxdx＝－cosx＋C.(其中C均为常数)(2)利用定积分的几何意义求定积分：将其转化为求某一曲边梯形的面积．2．定积分的简单应用：(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积．(2)定积分在物理中的应用：①求变速直线运动的路程：s＝abv(t)dt(v(t)为速度函数)；②求变力所做的功：W＝abF(x)dx.