2020届高考数学一轮总复习 第三单元 导数及其应用 第16讲 导数在函数中的应用——单调性课件 理

高考总复习第（1）轮理科数学第三单元导数及其应用第16讲导数在函数中的应用——单调性1．理解可导函数的单调性与其导数的关系．2．会讨论一些简单函数的单调性．增减≥≤1．函数的单调性与导数的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数．如果f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上为______函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)上为______函数．2．导数与函数单调性的关系设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)的任意子集内都不恒等于0.如果f(x)在区间(a，b)内单调递增，则在(a，b)内f′(x)____0恒成立；如果f(x)在区间(a，b)内单调递减，则在(a，b)内f′(x)____0恒成立．1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．1．下列结论：①若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则一定有f′(x)0；②若函数f(x)在(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)在(a，b)内没有单调性．其中判断正确的是()A．①和②都正确B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确D．①和②都不正确答案：C2．设定义在区间(a，b)上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如下图所示，其中x1，x2，x3，x4是f′(x)的零点且x1x2x3x4.则(1)f(x)的增区间为_____________；(2)f(x)的减区间为_____________.答案：(1)(a，x1)，(x2，x4),(2)(x1，x2)，(x4，b)3．(2019·海南省华中师大琼中附中、屯昌中学联考)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间是____．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－1x，由f′(x)0，得1－1x0，x0，解得0x1.所以f(x)的单调递减区间为(0，1)．答案：(0，1)4．设函数f(x)＝12x2＋ex－xex，则f(x)的单调递减区间为.答案：(－∞，＋∞)解：函数的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)．若x0，则1－ex0，所以f′(x)0；若x0，则1－ex0，所以f′(x)0；若x＝0，则1－ex＝0.所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．5．(2018·黑龙江大庆中学月考)函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围为______________.解：因为f′(x)＝－3x2＋a≥0，所以a≥3x2，要使a≥3x2在(－1,1)上恒成立，令g(x)＝3x2，x∈(－1,1)，当x∈(－1,1)，0≤g(x)3，所以a≥3.答案：[3，＋∞)利用导数求函数的单调区间已知函数的单调性求参数的范围利用导数求含参数的函数的单调区间考点1·利用导数求函数的单调区间【例1】(2018·湖南省六校联考21题第(1)问)已知函数f(x)＝e－x(lnx－2k)(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直．求f(x)的单调区间．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝1x－lnx＋2kex，由已知得f′(1)＝1＋2ke＝0，所以k＝－12.所以f′(x)＝1x－lnx－1ex，设k(x)＝1x－lnx－1，则k′(x)＝－1x2－1x0在(0，＋∞)上恒成立，即k(x)在(0，＋∞)上是减函数，由k(1)＝0知，当0x1时k(x)0，从而f′(x)0，当x1时k(x)0，从而f′(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．【变式探究】1．(2018·湖北省八校第二次联考节选)已知函数f(x)＝xlnxx－1－a(a0)．当x∈(0,1)时，求f(x)的单调性．解：f′(x)＝x－1－lnxx－12，0x1.设g(x)＝x－1－lnx，则g′(x)＝1－1x，所以当x∈(0,1)时，g′(x)0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，又g(1)＝0，所以g(x)g(1)＝0，所以f′(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递增．即(0，1)是f(x)的单调递增区间．点评：(1)求可导函数f(x)的单调区间的步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；④确定函数y＝f(x)的单调区间：使f′(x)＞0的x的取值区间为增区间，使f′(x)＜0的x的取值区间为减区间．(2)求单调区间的难点在第③步解不等式，当f′(x)＝0的根不易求时，常常需要构造函数g(x)＝f′(x)，通过研究g′(x)的符号得到g(x)的单调性，再通过g(x)的单调性及特点得到g(x)0或g(x)0的x的范围，即f′(x)0或f′(x)0的x的范围，从而得到f(x)的单调区间．考点2·已知函数的单调性求参数的范围【例2】(经典真题)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解：依题意得f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝1x，因为x1，所以0g(x)1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．答案：D【变式探究】2．(2016·全国卷Ⅰ·文)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B．[－1，13]C．[－13，13]D．[－1，13]解：(方法1)因为f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，所以f′(x)＝1－23cos2x＋acosx≥0对x∈(－∞，＋∞)恒成立，即f′(x)＝－43cos2x＋acosx＋53≥0对x∈(－∞，＋∞)恒成立，令cosx＝t，－1≤t≤1，则等价于：g(t)＝－43t2＋at＋53≥0对t∈[－1,1]恒成立．等价于g－1≥0，g1≥0，即－a＋13≥0，a＋13≥0，所以－13≤a≤13.即a的取值范围为[－13，13]．(方法2：特殊值法)取a＝－1，则f(x)＝x－13sin2x－sinx，f′(x)＝1－23cos2x－cosx，因为f′(0)＝1－23－1＝－230，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A，B，D.故选C.点评：(1)函数f(x)在(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在该区间恒成立，从而转化为函数的最值(或值域)问题．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．考点3·利用导数求含参数的函数的单调区间【例3】(2017·新课标卷Ⅲ·文节选)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.讨论f(x)的单调性．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋12ax＋1x.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＜0，则当x∈(0，－12a)时，f′(x)＞0；当x∈(－12a，＋∞)时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，－12a)上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减．【变式探究】3．(2016·山东卷第(1)问)已知f(x)＝a(x－lnx)＋2x－1x2，a∈R，讨论f(x)的单调性．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－ax－2x2＋2x3＝ax2－2x－1x3.当a≤0时，x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．当a＞0时，f′(x)＝ax－1x3(x－2a)(x＋2a)．①0＜a＜2时，2a＞1，当x∈(0,1)或x∈(2a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，2a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．②a＝2时，2a＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增．③a＞2时，0＜2a＜1，当x∈(0，2a)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(2a，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a＜2时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，2a)内单调递减，在(2a，＋∞)内单调递增；当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；当a＞2时，f(x)在(0，2a)内单调递增，在(2a，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．点评：(1)当函数的解析式中含有参数时，如果参数对导函数的符号有影响或导数的零点是否在定义域内不确定时，要对参数进行分类讨论．(2)讨论时，要注意考察下列问题：①参数对f′(x)的符号是否有影响(考察可否恒正或恒负)；②f′(x)的零点与定义域的关系；③f′(x)＝0的根的大小是否确定．(3)画出导函数(或“部分构造”的影响导数符号的函数)的示意图有助于确定单调性．1．求可导函数f(x)的单调区间的方法：(1)求f(x)的定义域，并求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(3)确定函数y＝f(x)的单调区间：使f′(x)＞0的x的取值区间为增区间，使f′(x)＜0的x的取值区间为减区间．在求单调区间时，要注意如下两点：①要注意函数的定义域；②当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时，不能把这些区间取并集．2．已知函数在区间上单调，求其中的参数时，要注意单调性与导数的关系的转化．即：(1)如果f(x)在区间[a，b]单调递增⇒f′(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立；(2)如果f(x)在区间[a，b]单调递减⇒f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立．3．处理含参数的单调性问题，实质是转化为含参数的不等式的解法问题，但要注意在函数的定义域内讨论．