2020届高考数学一轮总复习 第七单元 不等式与推理证明 第46讲 基本不等式课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第七单元不等式与推理证明第46讲基本不等式1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件．2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式a＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时不等式取等号．2．几个重要不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)；(2)ab＋ba≥(a，b同号)；(3)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)；(4)a2＋b22(a＋b2)2.a0，b0a＝b2ab2≥3．基本不等式求最值(1)两个的和为，当且仅当它们时，其积最大．(2)两个的积为，当且仅当它们时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．正数正数定值定值相等相等1．(2017·北京海淀区一模)若mn0，则下列不等式中正确的是()A.1n1mB．|n||m|C.nm＋mn2D．m＋nmn解：因为mn0，所以1m1n，|n||m|，所以A，B错误；根据均值不等式知，nm＋mn2，故C正确；因为mn0，所以m＋n0，mn0，所以m＋nmn，故D错误．答案：C2．已知a、b为正数，则下列不等式中不成立的是()A.ab≤a2＋b22B.ab≤(a＋b2)2C.a2＋b22≥a＋b2D.2aba＋b≥ab解：易知A、B成立，对于C，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，所以a2＋b22≥(a＋b2)2，所以a2＋b22≥a＋b2，故C成立．对于D，取a＝4，b＝1，代入可知，不等式不成立，故D不成立．由以上分析可知，应选D.答案：D3．周长为60的矩形面积的最大值为()A．225B．450C．500D．900解：设矩形的长为x，宽为y，则2(x＋y)＝60，所以x＋y＝30，所以S＝xy≤(x＋y2)2＝225，即Smax＝225.当且仅当x＝y＝15时取“＝”，故选A.答案：A4．设函数f(x)＝2x＋1x－1(x0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数解：f(x)＝－[(－2x)＋(－1x)]－1≤－22－1，当且仅当x＝－22时，等号成立，所以函数f(x)有最大值，所以选A.答案：A5．(经典真题)若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5解：将(1,1)代入直线xa＋yb＝1，得1a＋1b＝1，a＞0，b＞0，故a＋b＝(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ba＋ab≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b＝2时取到，故选C.答案：C利用基本不等式判断大小关系利用基本不等式求最值基本不等式的实际应用考点1·利用基本不等式判断大小关系【例1】下列不等式一定成立的是()A.x2＋12x(x∈R)B.lgx＋1lgx≥2(x0，且x≠1)C.x2＋1＋1x2＋12(x0)D.x≥1x(x0)解：对A，当x＝1时，x2＋1＝2x，A不正确．对于B，当0x1时，lgx0，B不正确．对于C，x2＋1＋1x2＋1≥2，当且仅当x2＋1＝1x2＋1，即x＝0时，取等号，但x0，所以不等式不能取到等号，故C正确．对于D，当0x1时，x1x，故D不正确．答案：C【变式探究】1．下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋14)lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋11(x∈R)解：对于A选项，当x＝12时，lg(x2＋14)＝lgx，所以A选项不正确；B选项，需要满足sinx0，不等式成立，所以B选项也不正确；C选项显然正确；D选项不正确，因为x2＋1≥1，所以01x2＋1≤1，故选C.点评：运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．考点2·利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．(2)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．解：(1)y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，取等号．故当x＝1时，ymax＝1.(2)(方法1)因为x0，y0，1x＋9y＝1，所以x＋y＝(1x＋9y)(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy，且1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(方法2)由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，可知x1，y9，从而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2x－1y－9＋10＝16，所以当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.【变式探究】2.(1)(2016·河北衡水模拟)若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值为()A.1B.6C.9D.16(2)(2016·长春调研)若两个正数x，y满足2x＋1y＝1，并且x＋2ym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，－2)∪[4，＋∞)B.(－∞，－4]∪[2，＋∞)C.(－2,4)D.(－4,2)解：(1)(方法1)因为正数a，b满足1a＋1b＝1，所以b＝aa－10，解得a1，同理b1.1a－1＋9b－1＝1a－1＋9aa－1－1＝1a－1＋9(a－1)≥21a－1·9a－1＝6.当且仅当1a－1＝9(a－1)，即a＝43时等号成立，所以最小值为6，故选B.(方法2)因为正数a，b满足1a＋1b＝1，所以a1，且b1，且ab＝a＋b，所以(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝1.所以1a－1＋9b－1≥21a－1·9b－1＝29＝6.当且仅当1a－1＝9b－1，a－1b－1＝1，即a＝43，b＝4时，等号成立．即所求最小值为6.(2)x＋2y＝(x＋2y)(2x＋1y)＝4＋4yx＋xy≥8，当且仅当4yx＝xy，即x＝4，y＝2时等号成立．由x＋2ym2＋2m恒成立，可知m2＋2m8，即m2＋2m－80，解得－4m2.点评：(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．考点3·基本不等式的实际应用【例3】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解：一年的总运费为6×600x＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为3600x＋4x万元．因为3600x＋4x≥23600x·4x＝240，当且仅当3600x＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：30【变式探究】3.某制冷设备厂设计一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4，沿AC将△ABC翻折，使点B落到点B′的位置，AB′交DC于点P.研究发现当△ADP的面积最大时最节能，则最节能时△ADP的面积为()A.22－2B.3－22C.2－2D.2解：设AB＝x，DP＝y，则BC＝2－x，PC＝x－y.因为x2－x，故1x2.因为△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2，得y＝2(1－1x)，1x2.记△ADP的面积为S，则S＝(1－1x)(2－x)＝3－(x＋2x)≤3－22.当且仅当x＝2x，即x＝2时，S取得最大值3－22.即最节能时△ADP的面积为3－22.点评：应用基本不等式解决实际问题的一般步骤：①先理解题意，设变量时一般把要求最大(小)值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大(小)值问题；③利用基本不等式求函数的最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；④回到实际问题中，写出正确答案．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，分析其结构特点，有利于在运用过程中根据问题的结构特征灵活地对公式进行合理选择．2．基本不等式的应用主要是：(1)证明某些不等式；(2)求某些函数的最值．3．利用基本不等式求最值，有“和定积最大，积定和最小”的结论，利用它可以解决某些非二次的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题，在具体解题时，要特别注意：“一正、二定、三相等”的条件．创造利用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目标在于满足“一正、二定、三相等”的条件．