2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第64讲 双曲线课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第64讲双曲线1．了解双曲线的定义，会求双曲线的标准方程．2．知道双曲线的简单几何性质，明确双曲线的基本量a，b，c，e与椭圆的基本量的异同，加深对双曲线的渐近线的理解，了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义平面内到两个定点F1、F2的距离的等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫作双曲线．两个定点叫作双曲线的，两焦点的距离叫作双曲线的.差的绝对值焦点焦距3．双曲线的标准方程与简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)对称性关于x轴，y轴，原点对称标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形实虚轴实轴长|A1A2|＝，虚轴长|B1B2|＝焦距|F1F2|＝2c(c0)，c2＝离心率e＝(e1)渐近线y＝y＝2a2ba2＋b21．双曲线的方程(1)一般形式：Ax2＋By2＝1(AB0)．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.3．双曲线的离心率e＝1＋ba2.4．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长度为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.5．P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b21tanθ2，其中θ为∠F1PF2.1．已知F1、F2是椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，平面内一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线解：对于椭圆有c2＝a2－b2＝4－3＝1，所以椭圆的左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，因为|MF1|－|MF2|＝2＝|F1F2|，所以M点的轨迹为一条射线．答案：D2．(2018·浙江卷)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A．(－2，0)，(2，0)B．(－2，0)，(2，0)C．(0，－2)，(0，2)D．(0，－2)，(0，2)解：因为双曲线方程为x23－y2＝1，所以a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，所以c＝a2＋b2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．答案：B3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1解：因为c＝4，又ca＝2，所以a＝2，从而b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求的双曲线方程为x24－y212＝1.答案：A4.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，3)C．(0,3)D．(0，3)解：若双曲线的焦点在x轴上，则m2＋n0，3m2－n0.又因为(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，所以m2＝1，所以1＋n0，3－n0，所以－1n3.若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为y2n－3m2－x2－m2－n＝1，即n－3m20，－m2－n0，即n3m2且n－m2，此时n不存在．故选A．答案：A5．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x解：双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.又因为离心率ca＝a2＋b2a＝3，所以a2＋b2＝3a2.所以b＝2a(a0，b0)．所以渐近线方程为2ax±ay＝0，即y＝±2x.答案：A双曲线的定义、标准方程双曲线的几何性质双曲线的综合应用考点1·双曲线的定义、标准方程【例1】(1)已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程为__________________．解：(1)因为圆P与圆C外切，如图：所以|PC|＝|PA|＋2，即|PC|－|PA|＝2，因为0|PC|－|PA||AC|，所以由双曲线的定义，知点P的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a＝1，c＝3，所以b2＝c2－a2＝9－1＝8.故所求的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．答案：x2－y28＝1(x≤－1)(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1解:(2)由y＝52x可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.答案:B1.(1)(2019·青海模拟)经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为()A．x2113－y211＝1B．x22－y2＝1C．y2113－x211＝1D．y211－x2113＝1【变式探究】解：(1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝λ(a0，b0，λ≠0)，则双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，得|2a|a2＋b2＝2ac＝1，即c＝2a，则b＝c2－a2＝3a，将其代入双曲线方程得3x2－y2＝3λa2.把(2,1)代入得3λa2＝11，所以双曲线的标准方程为x2113－y211＝1.答案:A1．(2)(2017·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1B.x28－y28＝1C.x24－y28＝1D.x28－y24＝1解：(2)由题意可得ca＝2，即c＝2a.又左焦点F(－c,0)，P(0,4)，则直线PF的方程为y－04－0＝x＋c0＋c，化简即得y＝4cx＋4.结合已知条件和图象易知直线PF与y＝bax平行，则4c＝ba，即4a＝bc.故c＝2a，4a＝bc，a2＋b2＝c2，解得a2＝8，b2＝8，故双曲线方程为x28－y28＝1.点评：求双曲线标准方程的一般方法：(1)定义法：①依定义判断动点的轨迹符合双曲线的定义；②确定a及c的值，再计算b的值，得所求标准方程．(2)待定系数法：先“定位”再“定量”，即设出双曲线的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b的值．考点2·双曲线的几何性质【例2】(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为()A．2B．32C．3D．2解：(1)(方法1)如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝b2a.又sin∠MF2F1＝13，所以|MF1||MF2|＝13，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝2b2a，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝ca＝2.(方法2)如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝b2a.在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝13得tan∠MF2F1＝24.所以|MF1|2c＝24，即b22ac＝24，即c2－a22ac＝24，整理得c2－22ac－a2＝0，两边同除以a2得e2－22e－1＝0.解得e＝2(负值舍去)．答案：（1）A(2)(经典真题)已知F是双曲线C：x2－my2＝3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B．3C.3mD．3m解：(2)双曲线的标准方程为x23m－y23＝1(m0)，则a2＝3m，b2＝3，所以c＝a2＋b2＝3m＋3.所以焦点坐标为(±3m＋3，0)，其渐近线方程为x3m±y3＝0，即my＝±x，不妨取右焦点F(3m＋3，0)，渐近线x－my＝0，其距离d＝3m＋31＋m＝3.答案：(2)A【变式探究】2．(1)若实数k满足0k9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等解：(1)因为0k9，所以两方程均表示双曲线．对于双曲线x225－y29－k＝1，a1＝5，b1＝9－k，所以c1＝34－k，e1＝34－k5.对于双曲线x225－k－y29＝1，a2＝25－k，b2＝3，c2＝34－k，e2＝34－k25－k.由此可知它们的焦距相等．答案:A(2)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A．2B.3C.2D.233解：(2)设双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝3.根据点到直线的距离公式得|2b|a2＋b2＝3，解得b2＝3a2.所以C的离心率e＝ca＝c2a2＝1＋b2a2＝2.答案:A点评：(1)双曲线的几何性质是高考的热点之一，常考查离心率、渐近线等几何性质．(2)求双曲线的离心率与求椭圆的离心率方法类似，主要方法有：①直接利用定义，求出a，c代入e＝ca计算；②建立关于a，c的齐次方程，转化为解e的方程．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为x2a2－y2b2＝0.一般地，双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离d＝B．(4)双曲线的通径与椭圆的表达式一致，通径长为2b2a.考点3·双曲线的综合应用【例3】(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A.5B．2C.3D.2解：(方法1)如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.又|PF1|＝6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝2a＝b，所以c＝a2＋b2＝3a，所以e＝ca＝3.(方法2)如图，在Rt△OF2P中，因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.设∠F2OP＝α，则cosα＝ac，在△OF1P中，由余弦定理得|PF1|2＝c2＋a2＋2ac·ac＝c2＋3a2＝6a2，所以c2＝3a2，所以e＝ca＝3.答案：C【变式探究】3．(2018·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1解：如图，不妨设A在B的上方，则A(c，b2a)，B(c，－b2a)．其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝bc－b2＋bc＋b2a2＋b2＝2bcc＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝ca＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝3.所以双曲线的方程为x23－y29＝1.点评：双曲线的综合应用问题常将双曲线的基本性质(顶点、焦点、对称性、渐近线及通径等)及直线的基