2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第61讲 圆的方程课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第61讲圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程．2．能根据给定条件求圆的标准方程及与圆有关的轨迹方程．定点定长圆心(x－a)2＋(y－b)2＝r21．圆的定义在平面内，到的距离等于的点的集合叫作圆．确定一个圆最基本的要素是和半径．2．圆的方程(1)圆的标准方程：，其中(a，b)为圆心，r为半径．特别地，当a＝b＝0时，表示圆心在原点的圆的方程：x2＋y2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径r＝.3．求圆的方程的方法和步骤由于圆的方程形式已知，所以求圆的方程常采用，大致步骤为：(1)根据题意，选择方程；(2)根据条件列出关于的方程组；(3)解出代入标准方程或一般方程．待定系数法标准或一般a，b，r或D，E，Fa，b，r或D，E，F1．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上⇔；(2)点在圆外⇔；(3)点在圆内⇔.2．平面上定点A与圆P上动点B之间的距离的最值(1)最大值为|PA|＋r；(2)最小值为|PA|－r.(其中r为圆P的半径)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2r2(x0－a)2＋(y0－b)2r21．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示圆，则k的取值范围为()A.k＜－1或k＞4B.k＝－1或k＝4C.－1＜k＜4D.－4＜k＜1解：配方得(x＋k)2＋(y＋2)2＝k2－3k－4.则k2－3k－4＞0，得k＞4或k＜－1.答案：A2.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C．3D．2解：圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.答案：A3．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围为()A．(－1,1)B．(0,1)C．{1，－1}D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解：因为(1－a)2＋(1＋a)24，所以－1a1.答案：A4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解：设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为点(1,2)在圆上，所以1＋(2－b)2＝1，所以b＝2，故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案：A5．过点A(1，－1)、B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解：(方法1：直接法，确定圆心和半径)线段AB的垂直平分线为y＝x，由x＋y－2＝0，y＝x得圆心坐标为(1,1)，r2＝(1－1)2＋(－1－1)2＝4.所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(方法2：待定系数法)设圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由条件D－E＋F＋2＝0，－D＋E＋F＋2＝0，－D2－E2－2＝0⇒D＝－2，E＝－2，F＝－2，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案：C求圆的方程与圆有关的最值问题与圆有关的轨迹问题考点1·求圆的方程【例1】(经典真题)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________________．解：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)，由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．(方法1：利用标准方程求解)设圆的方程为(x－a)2＋y2＝(4－a)2(a0)，则(4－a)2＝a2＋22，解得a＝32.故圆的方程为(x－32)2＋y2＝254.(方法2：利用一般方程求解)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，则16＋4D＋F＝0，4＋F＝0，解得F＝－4，D＝－3.所求圆的一般方程为x2＋y2－3x－4＝0.即圆的标准方程为(x－32)2＋y2＝254.(方法3：直接法，确定圆心和半径)(0,2)，(4,0)的中垂线方程为y＝2x－3，所以圆心由y＝2x－3，y＝0确定，即圆心为(32，0)，半径r＝4－32＝52.所以圆的标准方程为(x－32)2＋y2＝254.答案：(x－32)2＋y2＝254【变式探究】1.(2018·天津卷·文)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为.解析：(方法1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以F＝0，2＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0.所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.(方法2)画出示意图如图所示，则△OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.点评：(1)直接法．根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得到所求方程．(2)待定系数法．其一般步骤为：①根据题意选用圆的方程两种形式中的一种；②根据所给条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解方程组，求出a，b，r或D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．考点2·与圆有关的最值问题【例2】（1）若实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0，则yx＋1的最大值为__________，最小值为__________．(2)(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]解：（1）（方法1）原方程可化为(x－2)2＋y2＝3.因为yx＋1＝y－0x－－1表示点P(－1,0)与圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)的连线的斜率．(如图)由图知yx＋1的最大值和最小值分别是过P与圆相切的直线PA、PB的斜率．又因为kPA＝|CA||PA|＝36＝22，kPB＝－|CB||PB|＝－36＝－22，所以yx＋1的最大值为22，最小值为－22.(方法2)设yx＋1＝k，则y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由d＝|3k|k2＋1≤3得－22≤k≤22.即yx＋1的最大值为22，最小值为－22.(2)设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为22，可得dmax＝22＋r＝32，dmin＝22－r＝2.由已知条件可得AB＝22，所以△ABP面积的最大值为12AB·dmax＝6，△ABP面积的最小值为12AB·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]．答案：(1)22－22(2)A【变式探究】2．（1）如果实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0，则：①y－x的最小值为，最大值为；②(x＋2)2＋(y－3)2的取值范围为.(2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：(1)圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝3.①设y－x＝b，即y＝x＋b，则y－x可看作直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2－6或b＝－2＋6，所以y－x的最小值是－2－6，最大值是－2＋6.②设m＝(x＋2)2＋(y－3)2，则m表示圆上的点P(x，y)与M(－2,3)的距离的平方．当MP过圆心时，m分别达到最大值和最小值．(如图)|MP|max＝|PA|2＝(2＋22＋9＋3)2＝28＋103，|MP|min＝|PB|2＝(2＋22＋9－3)2＝28－103，因此，所求的范围是[28－103，28＋103]．(2)由题知点P(cosθ，sinθ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－my－2＝0恒过点(2，0)，所以当m变化时，圆心(0，0)到直线x－my－2＝0的距离d′(21＋m2)的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.答案:(1)①－2－6－2＋6②[28－103，28＋103](2)C点评：(1)处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合的方法求解．(2)与圆有关的最值问题，常见类型有：①形如μ＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题．④圆上的点到直线的距离的最大、最小问题.考点3·与圆有关的轨迹问题【例3】(2017·河北衡水调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)(方法1：直接法)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简理x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．(方法2：定义法)设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，所以x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y，又C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．所以动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．【变式探究】3.(经典真题)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．求M的轨迹方程．解：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4，如图：(方法1)设M(x，y)，因为△CPM为Rt△，所以CM2＋MP2＝CP2，所以x2＋(y－4)2＋(x－2)2＋(y－2)2＝(2－0)2＋(2－4)2，整理得M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2.(方法2)设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)，由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(方法3)因为△CPM为Rt△，又C、P为定点，且CM⊥MP，M为动点，所以M的轨迹是以CP为直径的圆．因为圆心为(1,3)，半径r＝122－02＋2－42＝2，故所求M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2.点评：(1)求与圆有关的轨迹方程时，要注意充分利用圆的几何性质．(2)求与圆有关的轨迹方程常用的方法有：①直接法