2020届高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 第56讲 空间向量的应用（一）课件 理 新人教A版

第56讲空间向量的应用(一)1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系．3．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些简单命题(包括三垂线等定理的证明)．1．平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有个，它们是向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是确定的．共线无数唯一2．利用向量的知识判定线面平行的方法(1)直线与直线平行的判定方法：如果不重合的直线a和b的方向向量分别为a，b，则a∥b⇔a＝.(2)直线与平面平行的判定方法：①如果平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则a∥α⇔.②如果平面外的直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a∥α⇔.λba·n＝0a＝λ1e1＋λ2e2(3)平面与平面平行的判定方法：①如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α∥β⇔.②设两个不重合的平面α、β，若平面α的法向量为n，则α∥β⇔.3．利用向量的知识判定线面垂直的方法(1)直线与直线垂直的判定方法：如果不重合的两条直线a和直线b的方向向量分别是a和b，则a⊥b⇔.n1＝λn2n⊥βa·b＝0(2)直线与平面垂直的判定方法：①如果直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则a⊥α⇔.②如果直线a的方向向量为a，e1，e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a⊥α⇔.(3)平面与平面垂直的判定方法：①如果平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α⊥β⇔n1·n2＝0.②设平面α的法向量为n，e1，e2是平面β的一组基底(不共线的向量)，则α⊥β⇔n＝λ1e1＋λ2e2.a＝λna·e1＝0且a·e2＝04．利用向量研究线面平行、垂直问题的一般步骤：①建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标；②写出有关向量，并利用向量的平行、垂直证明有关平行、垂直关系；③根据运算关系，得到相应结论．1．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A．(1,1,1)B．(33，33，33)C．(13，13，13)D．(33，33，－33)解：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．而AB＝(0，－1,1)，AC＝(－1,0,1)，则AB→·n＝0，AC→·n＝0，即－y＋z＝0，－x＋z＝0，令z＝1，得x＝1，y＝1，得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．因为单位向量的模为1，故选B.答案：B2．如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则下列命题正确的是()①a∥b⇔a＝λb(λ∈R)；②a⊥b⇔a·b＝0.A．①和②B．只有①C．只有②D．①和②都不正确解：此题结论为证线线平行与垂直的方法，两个结论都是正确的，选A.答案：A3．下列命题：①如果平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则a∥α⇔a·n＝0；②如果平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则a⊥α⇔a＝λn；③如果平面α外的直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底，则a∥α⇔a＝λ1e1＋λ2e2；④如果平面α外的直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底，则a⊥α⇔a·e1＝0且a·e2＝0.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解：本题4个结论都是正确的，上述4个结论是用向量证线面平行与线面垂直的基本方法．答案：D4．下列命题：①如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α∥β⇔n1＝λn2；②如果平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③设两个不重合的平面α和平面β，若平面α的法向量为n，则α∥β⇔n⊥β；④设平面α的法向量为n，e1、e2是平面β的一组基底，则α⊥β⇔n＝λ1e1＋λ2e2.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解：本题为用向量方法证明面面平行与面面垂直的方法，4个结论都是正确的．答案:D5．已知直线l的方向向量为v，平面α的法向量是μ，且v·μ＝0，则l与α的位置关系是.解：要注意直线在平面内的情况．答案：l∥α或l⊂α利用空间向量证明空间中的位置关系利用空间向量解决空间中的探索性问题考点1·利用空间向量证明空间中的位置关系【例1】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.证明：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．设DC＝a.(1)依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a)，E(0，a2，a2)．设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，因为DB＝(a，a，0)，DE＝(0，a2，a2)．由n·DB→＝0，n·DE→＝0，得0,0,xyyz令z＝1，则x＝1，y＝－1，所以n＝(1，－1，1)．又PA＝(a，0，－a)，所以PA·n＝a－a＝0.又PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)依题意有B(a，a,0)，PB＝(a，a，－a)，又DE＝(0，a2，a2)．因为PB·DE＝0＋a22－a22＝0.所以PB⊥DE，即PB⊥DE.由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.【变式探究】1．(2018·江西省赣中南五校联考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.解：(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.因为PA＝PD＝22AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝a2.以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则A(a2，0,0)，F(0，a2，0)，D(－a2，0,0)，P(0,0，a2)，B(a2，a,0)，C(－a2，a,0)．因为E为PC的中点，所以E(－a4，a2，a4)．易知平面PAD的一个法向量为OF＝(0，a2，0)，因为OF·EF＝(0，a2，0)·(a4，0，－a4)＝0，又EF⊄平面PAD.所以EF∥平面PAD.(2)因为PA＝(a2，0，－a2)，CD＝(0，－a,0)，所以PA·CD＝(a2，0，－a2)·(0，－a,0)＝0.所以PA⊥CD，所以PA⊥CD.又PA⊥PD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PDC.又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.点评：(1)利用空间向量证明空间中的位置关系，其基本步骤包括：①
建立好空间直角坐标系；②写出相关点的坐标；③求相关向量；④计算证明．(2)证“垂直关系”一般转化为线线垂直(或平行)来证，证明直线与平面垂直也可证直线的方向量与平面的法向量平行，证两平面垂直，也可利用两平面的法向量垂直来证明．(3)证“线面平行”，一般利用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证.考点2·利用空间向量解决空间中的探索性问题【例2】如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0λ2)．是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D­xyz，由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)，所以1BC＝(－2,0,2)，FP＝(－1,0，λ)，FE＝(1,1,0)，设平面EFPQ的一个法向量n＝(x，y，z)，由FE→·n＝0，FP→·n＝0，可得x＋y＝0，－x＋λz＝0，于是取n＝(λ，－λ，1)，同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1)，若存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．【变式探究】2．(2016·北京卷节选)如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．解：取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.如图，建立空间直角坐标系O­xyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PD→＝0，n·PC→＝0，即－y－z＝0，2x－z＝0.令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)．设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM＝λAP.因此点M(0,1－λ，λ),BM＝(－1，－λ，λ)．因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，当且仅当BM·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时AMAP＝14.点评：在立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面的位置关系、角度、长度等问题越来越多，尤其是探索性问题，比用传统立体几何方法简便快捷．利用空间向量解决探索性问题，具有一定的优越性，其思路上，利用坐标系，表示出一些点的坐标，计算出满足条件的关系，从而探索出所要研究的问题．1．利用直线的方向向量与平面的法向量证明线线、线面、面面平行和垂直关系的关键就是把这些垂直与平行关系转化为向量的垂直与平行关系，然后利用向量的相应知识解决．当然垂直与平行关系的判断与证明也可以不利用向量方法，而利用定理转化证明，两种方法都要熟练掌握．2．用向量方法证明平行、垂直问题的步骤．(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．