2020届高考数学一轮复习 第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 二项分布与正态分布课件

第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)第7节二项分布与正态分布最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．4.能解决一些简单的实际问题.返回导航返回导航【教材导读】1．条件概率和一般概率的关系是什么？提示：一般概率的性质对条件概率都适用，是特殊与一般的关系．2．事件A，B相互独立的意义是什么？提示：一个事件发生的概率对另一个事件发生的概率没有影响．3．在一次试验中事件A发生的概率为p，在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率值为什么是Cknpk(1－p)n-k?返回导航提示：n次恰好发生k次，为Ckn个互斥事件之和，每个互斥事件发生的概率为pk(1－p)k，故有上述结论．4．正态分布中最为重要的是什么？提示：概念以及正态分布密度曲线的对称性．1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为在__________发生的条件下，_________发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝__________________返回导航事件A事件BP(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义设A、B为两个事件，若P(AB)＝____________，则称事件A与事件B相互独立．(2)与对立事件的关系如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验一般地，在_______条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．返回导航P(A)P(B)相同(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，设在每次试验中事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝________________(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作____________，并称_____为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝_________．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝_____，D(X)＝____________．返回导航Cpk(1－p)n－kX～B(n，p)pp(1－p)np(1－p)np5．正态分布(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ0)为参数)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．返回导航(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴_______，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线_______对称；③曲线在_________处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为____；⑤当σ一定时，曲线的位置由____确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示；返回导航上方x＝μx＝μ1μ返回导航⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ_______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ_________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.返回导航越小越大【重要结论】1．P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c，则事件A，B.C至少有一个发生的概率为1－(1－a)(1－b)(1－c)．2．X～N(μ，σ)，若P(Xa)＝P(Xb)，则正态密度曲线关于直线x＝a＋b2对称．返回导航1．设随机变量ξ～N(2,4)，若P(ξ＞a＋2)＝P(ξ＜2a－3)，则实数a的值为()(A)1(B)53(C)5(D)9返回导航B解析：因为μ＝2，根据正态分布的性质得a＋2＋2a－32＝2，解得a＝53.2．已知随机变量X服从正态分布N(2,32)，且P(X≤1)＝0.30，则P(2X3)等于()(A)0.20(B)0.50(C)0.70(D)0.80返回导航A解析：∵该正态密度曲线的对称轴方程为x＝2，∴P(X≥3)＝P(X≤1)＝0.30，∴P(1X3)＝1－P(X≥3)－P(X≤1)＝1－2×0.30＝0.40，∴P(2X3)＝12P(1X3)＝0.20.3．设随机变量X服从二项分布X～B5，12，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是()(A)56(B)45(C)3132(D)12返回导航C解析：∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服从X～B5，12，∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－125＝3132.4．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长幼苗的概率为________．返回导航答案：0.725．在一次高三数学模拟考试中，第22题和23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12，则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．答案：12返回导航考点一条件概率(1)某射击手射击一次命中的概率是0.7，两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是()(A)710(B)67(C)47(D)25(2)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A为“至少一次出现反面”，事件B为“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝________.解析：(1)设第一次射中为事件A、随后一次射中为事件B，则P(A)＝0.7，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝PABPA＝0.40.7＝47.(2)由题意，知P(AB)＝323＝38，P(A)＝1－123＝78，所以P(B|A)＝PABPA＝3878＝37.返回导航答案：(1)C(2)37【反思归纳】(1)一般情况下条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行，在计算时要注意搞清楚问题的事件含义，特别注意在事件A包含事件B时，AB＝B.(2)对于古典概型的条件概率，计算方法有两种：可采用缩减基本事件全体的办法计算P(B|A)＝nABnA；直接利用定义计算P(B|A)＝PABPA.返回导航【即时训练】(1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．(2)某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率是________．返回导航解析：(1)解法一设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝C55C2100，所以P(B|A)＝PABPA＝5×4100×995100＝499.解法二第一次取到不合格产品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率为499.返回导航(2)记事件A为这个家用电器使用了三年，事件B为这个家用电器使用到四年，显然事件BA，即事件AB＝B，故P(A)＝0.8，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝PABPA＝0.5.返回导航答案：(1)499(2)0.5考点二独立事件的概率甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．返回导航解析：设Ak，Bk分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P(A3)＝13＋23×12×13＋(23)2×(12)2×13＝13＋19＋127＝1327.返回导航(2)ξ的所有可能取值为1,2,3，且P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)＝23×12×13＋(23)2×(12)2＝29，P(ξ＝3)＝P(A1B1A2B2)＝(23)2×(12)2＝19.返回导航综上知，ξ的分布列为ξ123P232919所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.返回导航【反思归纳】概率计算的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．返回导航【即时训练】某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．返回导航解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元．甲、乙两人所付费用都是10元的概率为P1＝13×12＝16，甲、乙两人所付费用都是20元的概率为P1＝12×13＝16，甲、乙两人所付费用都是30元的概率为P1＝1－13－12×1－12－13＝136故甲、乙两人所付费用相等的概率为P＝P1＋P2＋P3＝1336.返回导航(2)随机变量ξ的取值可以为20,30,40,50,60.P(ξ＝20)＝12×13＝16P(ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1336P(ξ＝40)＝12×13＋1－12－13×13＋1－13－12×12＝1136P(ξ＝50)＝12×1－12－13＋1－12－13×13＝536P(ξ＝60)＝1－12－13×1－12－13＝136返回导航故ξ的分布列为：ξ2030405060P1613361136536136返回导航考点三二项分布京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ，σ2)，同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内)，样本数据分布区间为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，由此得到如图所示的频率分布直方图．返回导航返回导航(1)若P(ξ38)＝P(ξ68)，求a，b的值；(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为23，且每个人回答正确与否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列及数学期望．返回导航解：(1)根据正态曲线的对称性，由P(ξ38)＝P(ξ68)，得μ＝38＋682＝53.再由频率分布直方图得0.01＋0.03＋b＋0.02＋a×10＝1，0.1×35＋0.3×45＋10b×55＋0.2×65＋10a×75＝53，解得a＝0.005，b＝0.035.返回导航(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.05×100＝5(人)，由题意η＝0,1,2,3,4,5，所以P(η＝0)＝C051－235＝1243，P(η＝1)＝C15231－234＝10243，P(η＝2)＝C252321－233＝40243，