2020届高考数学一轮复习 第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分步

第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)返回导航高考考点、示例分布图命题特点1.本篇在高考中考查1个小题和1个大题，约占10或17分．2.计数原理、二项式定理、古典概型、几何概型经常以小题出现，而随机事件概率、二项分布、正态分布经常在大题中出现。七年新课标全国卷试题分析第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.返回导航返回导航提示：都能．【教材导读】1．分类加法计数原理中，各类中方法都能完成一件事吗？2．计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．分类加法计数原理与分步乘法计数原理原理异同点分类加法计数原理分步乘法计数原理定义完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法区别各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事返回导航1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()(A)3(B)4(C)6(D)8返回导航D解析：当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，也有4个．2．如图，一条电路由A到B接通时，有不同的线路的种数为()(A)3(B)7(C)8(D)12返回导航C解析：3＋1＋2×2＝8.3．某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为()(A)3＋5(B)3×5(C)35(D)53返回导航答案：B4．某位同学逛书店，发现有三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买的方案有________种．答案：75．(2018枣庄模拟)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．返回导航答案：8返回导航考点一分类加法计数原理某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解析：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C37种抽调方法．故共有C17＋A27＋C37＝84(种)抽调方法．返回导航【反思归纳】本题是分类加法计数原理的直接应用，解题时首先把问题分类(不重复也不遗漏)，确定每类中的方法数，最后按照分类加法计数原理得出结果．【即时训练】x，y是两个正整数，则满足x＋y≤10的数对(x，y)的个数有多少？返回导航解：x＝1时，y＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，有数对9个；x＝2时，y＝1,2,3,4,5,6,7,8有数对8个；同理可得x＝3,4,5,6,7,8,9时分别有数对7,6,5,4，，3,2,1个．根据分类加法计数原理可得，共有数对9＋8＋…＋2＋1＝45(个)．考点二分步乘法计数原理(1)从－1,0,1,2这四个数中选三个数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数和常数项，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个．(用数字作答)返回导航(2)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．返回导航解析：(1)一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分频乘法计数原理知共有二次函数3×3×2＝18(个)．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知偶函数共有3×2＝6(个)．(2)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63(种)可能情况．【反思归纳】如果“一件事情”需要分成若干步骤才能完成，则就需要使用分步乘法计数原理计数完成这件事情的方法总数，如果其中存在某些特殊情况，则从总数中减去特殊情况的数目即可，这种间接求解的方法是计数问题中经常使用的．返回导航【即时训练】如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()(A)60(B)48(C)36(D)24返回导航B解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，共36＋12＝48(个)．故选B.考点三两个计数原理的综合某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有多少种？返回导航解析：①第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4×3＝12(种)排法．②第一节课若安排B，则第四节课可由A或C上，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有2×4×2＝24(种)排法．因此不同的安排方案共有12＋24＝36(种)．返回导航【反思归纳】使用两个基本原理进行计数的基本思想是“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．返回导航【即时训练】现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有2个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有________种．(用数字作答)12345返回导航解析：从5个小正方形中选取2个相邻的情况有4种，如图所示，当1和2涂红色时，有2种涂法，当2和3涂红色时，有1种涂法，当3和4涂红色时，有1种涂法，当4和5涂红色时，有2种涂法，所以一共有6种涂法．返回导航答案：6返回导航各步中方法数确定不准致误有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，但每人参加的项目不限．解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有选法36＝729种；(2)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步计数原理得共有不同的报名方法63＝216(种)．返回导航易错提醒：使用分步乘法计数原理解题时要根据实际问题确定每步中的具体方法数，本题中：(1)每人恰好参加一项，六人中每人都可有三个项目中选取一个，即每人都有三种不同的方法，把问题分为六步，每步的方法数均为3；(2)同(1)．