2020届高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量法（第1课时）课件

第七篇立体几何与空间向量(必修2、选修2-1)第7节立体几何中的向量法最新考纲1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用.返回导航返回导航【教材导读】1．直线的方向向量、平面的法向量都是唯一确定的吗？提示：不是唯一确定，一条直线的方向向量有无数个，平面的法向量有无数个．2．若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行吗？提示：不一定，也可能在平面内，因为向量是自由向量，没有重合，只有平行．向量所在的直线可以在平面内，这样的向量也是和平面平行的．3．两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角吗？返回导航提示：不一定，向量的夹角范围为[0，π]，而两直线的夹角为0，π2.4．直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角吗？提示：不一定．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量．直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有_______个．(2)平面的法向量．如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有_______个，且它们是_______向量．2．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．返回导航无数无数共线(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.返回导航3．利用向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，a与b的夹角为φ，l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|cosφ|＝|a·b||a||b|.返回导航(2)求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a，n的夹角为φ，则sinθ＝|cosφ|＝|a·n||a||n|.(3)求二面角的大小①若AB，CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图(1))．返回导航②设n1，n2分别是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图(2)(3)，其中图(2)中向量夹角的大小即为二面角平面角，图(3)中则为其补角)．返回导航4．求空间距离(1)两点间距离求法若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB→|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.返回导航(2)点面距的求法设n是平面α的法向量，点A在平面α内，点B在平面α外，则点B到平面α的距离为|AB→·n||n|.(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解．返回导航1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()(A)22(B)155(C)64(D)63返回导航C解析：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，sin∠AC1D＝ADAC1＝32AB2AB＝64.故选C.返回导航2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()(A)1010(B)3010(C)21510(D)31010返回导航B解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2).BC1→＝(－1,0,2)，AE→＝(－1,2,1)，cos〈BC1→，AE→〉BC1→·AE→|BC1→|·|AE→|＝3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.返回导航3．(2018青岛模拟)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()(A)33，33，－33(B)33，－33，33(C)－33，33，33(D)－33，－33，－33返回导航答案：D4.(2018临沂模拟)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，点M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()(A)(1,1,1)(B)23，23，1(C)22，22，1(D)24，24，1返回导航答案：C5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.返回导航答案：－3返回导航第一课时证明平行和垂直返回导航考点一利用空间向量证明平行问题如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，D为棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝a.求证：AB1∥平面BC1D.解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0，a,0)，B1(0,0，a)，C(a,0,0)，C1(a,0，a)．返回导航证明：法一：∵D为棱AC的中点，∴D12a，12a，0，∴AB1→＝(0，－a，a)，BC1→＝(a,0，a)，BD→＝12a，12a，0，∴AB1→＝BC1→－2BD→，∴向量AB1→，BC1→与BD→共面，又AB1平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.返回导航法二：设n＝(x，y，z)为平面BC1D的一个法向量，则n·BC1→＝0，n·BD→＝0，∵BC1→＝(a,0，a)，BD→＝12a，12a，0，∴ax＋az＝0，12ax＋12ay＝0，取x＝1，得y＝z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)，∴n·B1A→＝0，∴n⊥B1A→，又AB1平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.返回导航【反思归纳】用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直．②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．面面平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量)提醒：用向量结论还原几何结论时，要注意书写规范．返回导航【即时训练】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：PB∥平面EFG.返回导航解析：因为平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．所以PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)．设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，返回导航所以t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2.所以PB→＝2FE→＋2FG→.又FE→与FG→不共线，所以PB→，FE→与FG→共面．因为PB平面EFG，所以PB∥平面EFG.返回导航考点二利用空间向量证明垂直问题如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2.(1)求证：AB1⊥A1C；(2)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．返回导航解：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0,0，3)，A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，B1(2,1,0)，C(0,2，3)，(1)证明：∵AB1→＝(2,1，－3)，A1C→＝(0,3，3)，∴AB1→·A1C→＝0，∴AB1⊥A1C.返回导航(2)设A1C1与平面AA1B1所在角为θ，∵A1C1→＝(0,2,0)，A1B1→＝(2,2,0)，A1A→＝(0,1，3)，设平面AA1B1的法向量是n＝(x，y，z)，则A1B1→·n＝0，A1A→·n＝0，即2x＋2y＝0y＋3z＝0，令x＝1，得n＝1，－1，33，∴sinθ＝－cos〈A1C1→，n〉＝22×73＝217，∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为217.返回导航【反思归纳】利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直返回导航【即时训练】(2018承德模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.返回导航解：(1)∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC.又∵PO⊥平面ABC∴PO⊥BC.PO∩AO＝O，∴BC⊥面PAD，AP面PAD.∴AP⊥BC.返回导航(2)分别以过O平行于BC的直线，直线AD，直线OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．设M(x，y，z)，则AM→＝λAP→且AM＝3得M0，－65，125.设平面AMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则n1·AC→＝0，n1·AM→＝0，解得一个n1＝(54，1，－34)．设平面BMC法向量n2＝(x2，y2，z2)，则n2·BC→＝0，n2·MB→＝0，返回导航解得一个n2＝(1,0，53)．∵n1·n2＝0，∴平面AMC⊥平面BMC.返回导航考点三利用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题(2018日照模拟)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点M是BD的中点，AE＝12CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．返回导航(1)求证：EM∥平面ABC；(2)求出该几何体的体积；(3)试问在棱CD上是否存在一点N，使MN⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．返回导航解析：(1)因为M为DB的中点，取BC中点G，连接MG，AG.所以MG∥DC，且MG＝12DC.所以MG∥AE且MG＝AE，所以四边形AGME为平行四边形，所以EM∥AG.又AG平面ABC，ME/平面ABC，所以EM∥平面ABC.(2)由题意知，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE＝2，DC＝4，AB⊥AC，且AB＝AC＝2，因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥AB.又AB⊥AC，EA∩AC＝A，所以AB⊥平面ACDE，所以四棱锥B－ACDE的高h＝AB＝2，梯形ACDE的面积S＝6，所以VB－ACDE＝13·Sh＝4，即所求几何体的体积为4.返回导航(3)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(－2,0,0)，D(－2,0,4)，E(0,0,2)，M(－1,1,2)，DB→＝(2,2，－4)，DE→＝(2,0，－2)，DC→＝(0,0，－4)，DM→＝(1,1