2020届高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第6节 空间向量及其运算课件 理 新人教A版

第七篇立体几何与空间向量(必修2、选修2-1)第6节空间向量及其运算最新考纲1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2.会简单应用空间两点间的距离公式．3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.返回导航返回导航【教材导读】1．在空间直角坐标系中，①在x轴上的点的坐标怎么记？②在y轴上的点的坐标怎么记？③在z轴上的点的坐标怎么记？提示：①可记作(x,0,0)．②可记作(0，y,0)．③可记作(0,0，z)．提示：共面．2．空间中任意两个非零向量a，b共面吗？1．空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做__________，x轴、y轴、z轴叫做_________，通过每两个坐标轴的平面叫做__________．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向_________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．返回导航坐标原点坐标轴坐标平面z轴(3)空间一点M的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的_________，y叫做点M的_________，z叫做点M的_________．2．空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝_________________________________.②点P(x，y，z)与坐标原点O之间的距离为|OP|＝________________.返回导航横坐标纵坐标竖坐标(2)中点公式设点P(x，y，z)为线段P1P2的中点，其中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则有x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，z＝z1＋z22.返回导航3．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有_____________的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的__________单位向量模为_____的向量零向量长度为______的向量相等向量方向_______且模________的向量相反向量方向_______且模________的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线_________________，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b共面向量平行于同一个_______的向量叫做共面向量返回导航大小和方向长度或模10相同相等相反相等互相平行或重合平面4.空间向量的有关定理及推论内容共线向量对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__________如图所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋ta①其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取AB→＝a，则①式可化为OP→＝OA→＋tAB→或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→返回导航a＝λb共面向量如果两个向量a，b________，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使_____________空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→或对空间任意一点O，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→空间向量基本定理如果三个向量a，b，c_________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________.我们把{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c都叫做________返回导航不共线p＝xa＋yb不共面p＝xa＋yb＋zc基向量基底5.空间向量的数量积与坐标运算(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是_________．若〈a，b〉＝π2，则称向量a与b互相垂直，记作_______.若〈a，b〉＝0，则称向量a与b同向共线，若〈a，b〉＝π，则称向量a与b反向共线．②两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则_________________叫做向量a，b的数量积，记作________，即_________________________．返回导航∠AOB[0，π]a⊥b|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|·cos〈a，b〉(2)两个向量数量积的性质和结论已知两个非零向量a和b.①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)．②a⊥b⇔___________.③cos〈a，b〉＝__________.④a2＝_______＝_______，|a|＝_______.⑤|a·b|≤|a||b|.(3)空间向量数量积的运算律①数乘结合律：(λa)·b＝__________．②交换律：a·b＝________.③分配律：a·(b＋c)＝____________.返回导航a·b＝0a·a|a|2λ(a·b)b·aa·b＋a·c(4)向量坐标的定义设i，j，k为空间三个两两垂直的单位向量，如果OP→＝xi＋yj＋zk，则____________叫做向量OP→的坐标．(5)空间向量运算的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么①加、减运算：a±b＝________________________．②数量积：a·b＝_____________________.返回导航(x，y，z)(x1±x2，y1±y2，z1±z2)x1x2＋y1y2＋z1z2③夹角公式：cos〈a，b〉＝____________________________.④模长公式：|a|＝a·a＝_________________.⑤数乘运算：λa＝_________________(λ∈R)．⑥平行的充要条件：a∥b⇔___________________________________．⑦垂直的充要条件：a⊥b⇔_________________________.返回导航(λx1，λy1，λz1)x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0【重要结论】1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：(1)PA→＝λPB→(λ∈R)；(2)对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)；(3)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．返回导航2．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP→＝xMA→＋yMB→；(2)对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；(3)对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)；(4)PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)．返回导航1.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()(A)(1,1,1)(B)1，1，12(C)1，1，32(D)(1,1,2)返回导航A解析：设PD＝a，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E1，1，a2，∴DP→＝(0,0，a)，AE→＝－1，1，a2，∵cos〈DP→，AE→〉＝33，∴a22＝a2＋a24·33，∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．返回导航2．在空间四边形ABCD中，AB→·CD→＋AC→·DB→＋AD→·BC→＝()(A)－1(B)0(C)1(D)不确定返回导航B解析：令AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则AB→·CD→＋AC→·DB→＋AD→·BC→＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.3．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()(A)a∥c，b∥c(B)a∥b，a⊥c(C)a∥c，a⊥b(D)以上都不对返回导航答案：C4．在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)＝________.返回导航答案：AG→5．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5，1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为________．答案：(5,13，－3)返回导航考点一空间直角坐标系(1)在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列命题：①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x，－y，z)②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x，－y，－z)③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x，－y，z)④点P关于原对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)其中正确的个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0(2)已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量P在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－12，3，则p在基底{a，b，c}下的坐标为________．返回导航解析：(1)命题①中P1坐标应为(x，－y，－z)，①错；②中P2坐标应为(－x，y，z)，②错；③中P3坐标应为(－x，y，－z)，③错，④对．(2)设向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(x，y，z)，则由空间向量基本定理知，P＝xa＋yb＋zc＝32(a＋b)－12(a－b)＋3c＝a＋2b＋3c.所以x＝1，y＝2，z＝3.即p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)．返回导航答案：(1)C(2)(1,2,3)【反思归纳】(1)点P(x，y，z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面对称点坐标原点(－x，－y，－z)x轴(x，－y，－z)y轴(－x，y，－z)z轴(－x，－y，z)坐标平面xOy(x，y，－z)坐标平面yOz(－x，y，z)坐标平面zOx(x，－y，z)返回导航(2)两点间距离公式的应用①求两点间的距离或线段的长度；②已知两点间的距离，确定坐标中参数的值；③根据已知条件探求满足条件的点的存在性．返回导航【即时训练】(1)点M(－8,6,1)关于x轴对称的点的坐标是________；(2)已知点A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．返回导航解析：(1)横坐标不变其余变为原来的相反数，故为(－8，－6，－1)．(2)设P(x,0,0)，因为|PA|＝|PB|，所以x－12＋0＋22＋0－12＝x－22＋0－22＋0－22，解得x＝3，所以点P的坐标为(3,0,0)．返回导航答案：(1)(－8，－6，－1)(2)(3,0,0)考点二空间向量的线性运算(1)已知三棱锥O－ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示MN→，则MN→等于________．返回导航(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE→＝AA1→＋xAB→＋yAD→，则x，y的值分别为()(A)x＝1，y＝1(B)x＝1，y＝12(C)x＝12，y＝12(D)x＝12，y＝1返回导航解析：(1)MN→＝MB→＋BO→＋ON→＝12AB→－OB→＋12OC→＝12(OB→－OA→)－OB→＋12OC→＝12c－12a－12b＝12(c－a－b)返回导航(2)AE→＝AA1→＋A1E→＝AA1→＋12A1C1→＝AA1→