2020届高考数学一轮复习 第九篇 统计与统计案例 第3节 变量的相关性与统计案例课件 理 新人教A

第九篇统计与统计案例第3节变量的相关性与统计案例最新考纲1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题．4.了解独立性检验的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题.返回导航返回导航【教材导读】1．变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？提示：相关关系是一种不确定关系，函数关系是确定关系．2．如何判断两个变量间的线性相关关系？提示：散点图大致在一条直线附近，或者通过计算相关系数作出判断．3．独立性检验的基本步骤是什么？提示：列出2×2列联表，计算k值，根据临界值表作出结论．1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．2．回归方程与回归分析(1)线性相关关系与回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在_____________附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．返回导航一条直线(2)回归方程①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的_________________最小的方法叫做最小二乘法．②回归方程：方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定数．b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.返回导航距离的平方和(3)回归分析①定义：对具有___________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．②样本点的中心：在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，x＝1n(x1＋…＋xn)，y＝1n(y1＋…＋yn)，a^＝y－b^x，(x，y)称为样本点的中心．③相关系数r＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2∑ni＝1yi－y2，当r0时，两变量____相关，当r0时，两变量____相关，当|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度_______，当|r|≤1且|r|越接近于0，相关程度_______．返回导航相关关系正负越强越弱3．独立性检验(1)独立性检验的有关概念①分类变量可用变量的不同“值”表示个体所属的_________的变量称为分类变量．②2×2列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d返回导航不同类别(2)独立性检验利用随机变量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．步骤如下：①计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0：P(K2≥k0)0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”．返回导航【重要结论】1．线性回归直线方程的斜率为正(负)时，两个变量正(负)相关．2．线性回归直线一定经过样本点的中心．返回导航1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是()(A)正方形的面积与周长(B)匀速行驶车辆的行驶路程与时间(C)人的身高与体重(D)人的身高与视力返回导航答案：C2．有关线性回归的说法，不正确的是()(A)相关关系的两个变量是非确定关系(B)散点图能直观地反映数据的相关程度(C)回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系(D)散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强返回导航答案：D3．(2017豫东、豫北十所名校联考)根据如下样本数据：x34567y4.0a－5.4－0.50.5b－0.6得到的回归直线方程为y^＝bx＋a.若样本点的中心为(5,0.9)，则当x每增加1个单位时，y就()(A)增加1.4个单位(B)减少1.4个单位(C)增加7.9个单位(D)减少7.9个单位返回导航B解析：依题意得，a＋b－25＝0.9，故a＋b＝6.5①，又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b＋a②，联立①②，解得b＝－1.4，a＝7.9，则y^＝－1.4x＋7.9，可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位．返回导航4．当我们建立多个模型拟合某一数据组时，为了比较各个模型的拟合效果，我们可通过计算下列________量来确定()①残差平方和②回归平方和③相关指数R2④相关系数r(A)①(B)①③(C)①②③(D)③④返回导航B解析：残差平方和越小，相关指数R2越大，拟合的效果越好．5．已知相关变量x，y之间的一组数据如表所示，回归直线y^＝b^x＋a^所表示的直线经过的定点为(1.5,5)，则mn＝________.x01n3y8m24返回导航解析：依题意，x＝0＋1＋n＋34＝1.5，y＝8＋m＋2＋44＝5，解得n＝2，m＝6，则mn＝12.答案：12返回导航考点一变量的相关性(1)如图所示，有A，B，C，D，E5组数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．(2)某公司一种型号的产品近期销售情况如下表月份23456销售额(万元)15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程y^＝0.75x＋a^，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为()(A)19.5万元(B)19.25万元(C)19.15万元(D)19.05万元返回导航解析：(1)由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.故选D.(2)由题意可得：x－＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y－＝15.1＋16.3＋17.0＋17.2＋18.45＝16.8，回归方程过样本中心点，则：16.8＝0.75×4＋a^，∴a^＝13.8.回归方程为：y^＝0.75x＋13.8，该公司7月份这种型号产品的销售额为：y^＝0.75×7＋13.8＝19.05万元．故选D.返回导航【反思归纳】(1)由于相关系数r和回归系数b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx2，分子是相同的，分母都是正数，故r，b^符号相同，故回归直线的斜率为正时正相关，为负时负相关，反应在散点图上就是散点总趋势下降时负相关，总趋势上升时正相关．(2)通常当r0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系，r0时正相关，r0时负相关．返回导航【即时训练】(1)下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是()返回导航(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④返回导航答案：(1)D(2)D考点二回归分析随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20122013201420152016时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程y^＝b^t＋a^；(2)用所求回归方程预测该地区2017年(t＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y^＝b^t＋a^中，b^＝∑ni＝1tiyi－nty∑ni＝1t2i－nt2，a^＝y－b^t.返回导航解析：(1)列表计算如下：这里n＝5，t＝1n∑ni＝1ti＝155＝3，y＝1n∑ni＝1yi＝365＝7.2.又ln＝∑ni＝1t2i－nt2＝55－5×32＝10，lty＝∑ni＝1tiyi－nty＝120－5×3×7.2＝12，从而b^＝ltyln＝1210＝1.2，a^＝y－b^t＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y^＝1.2t＋3.6.返回导航(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2017年的人民币储蓄存款为y^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．返回导航【反思归纳】(1)回归直线一定经过样本中心点(x，y)；(2)由回归直线方程得出的y值为估计值．【即时训练】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)，有如下的统计资料使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料可知y和x呈相关关系，由表中数据算出线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝1.23，据此估计，使用年限为10年时的维修费用是________万元．返回导航解析：x＝4，y＝5，故样本中心点是(4,5)，故a^＝y－b^x＝5－1.23×4＝0.08，所以y^＝1.23x＋0.08，所以使用年限为10年时的维修费用大约是1．23×10＋0.08＝12.38.返回导航答案：12.38考点三独立性检验某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06]的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表．甲厂：分组[29.86,29.90)[29.90,29.94)[29.94,29.98)[(29.98,30.02)频数126386182分组[30.02,30.06)[30.06,30.10)[30.10,30.14)频数92614返回导航乙厂：分组[29.86,29.90)[29.90,29.94)[29.94,29.98)[(29.98,30.02)频数297185159分组[30.02,30.06)[30.06,30.10)[30.10,30.14)频数766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？甲厂乙厂总计优质品非优质品总计返回导航解：(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为360500×100%＝72%；乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为320500×100%＝64%.返回导航(2)完成的2×2列联表如下：甲厂乙厂总计优质品360320680非优质品140180320总计5005001000由表中数据计算得K2的观测值k＝1000×360×180－320×1402500×500×680×320≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．返回导航【反思归纳】独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表，假设两个变量无关系；(2)根据公式k＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d计算k的值；(3)比较k与临界值的大小关系作统计推断．返回导航【即时训练】2018年2月9－25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生6020女生2020(Ⅰ)根据上表说明，能否有9