2020届高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第一编 讲方法 第6讲 填空题的解题方法课件 文

第6讲填空题的解题方法第一编讲方法「题型特点解读」填空题不像解答题能分步得分，因此要保证填写的结果正确，否则前功尽弃．解题时，要合理地分析和判断，要求推理、运算的每个步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确解答填空题的基本要求．1巧妙计算法对于计算型的试题，多通过直接计算求解结果，这是解决填空题的基本方法，即直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙的变形，简化计算过程，直接得到结果．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法．例1(1)(2019·高三第三次全国大联考)在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，若cos(C－A)＝12，则sinB＝________.答案5314解析在线段AB上取点D，使得CD＝AD，设AD＝x，则BD＝3－x，因为cos(C－A)＝12，即cos∠BCD＝12，所以在△BCD中，由余弦定理可得(3－x)2＝x2＋4－4x·12，解得x＝54，在△BCD中，由正弦定理可得CDsinB＝BDsin∠BCD，因为CD＝54，BD＝3－x＝74，sin∠BCD＝32，所以sinB＝5314.(2)(2019·大连市模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)f(x－2)的解集为________．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析∵函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(2x－1)f(x－2)可转化为f(|2x－1|)f(|x－2|)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2x－1)f(x－2)⇔|2x－1||x－2|，两边平方解得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故f(2x－1)f(x－2)的解集为x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活运用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速、准确地解决数学填空题的关键．1．设α为锐角，若cosα＋π6＝35，则sinα－π12＝________.答案210解析∵α为锐角，∴α＋π6∈π6，2π3，∴sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝45.∴sinα－π12＝sinα＋π6－π4＝sinα＋π6cosπ4－cosα＋π6sinπ4＝45×22－35×22＝210.2．(2019·湖北黄冈元月调研)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，….该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记该数列为{an}，则(a1a3－a22)＋(a2a4－a23)＋(a3a5－a24)＋…＋(a2018a2020－a22019)＝________.答案0解析根据题意，a1a3－a22＝1×2－12＝1，a2a4－a23＝1×3－22＝－1，a3a5－a24＝2×5－32＝1，…，则(a1a3－a22)＋(a2a4－a23)＋(a3a5－a24)＋…＋(a2018a2020－a22019)＝1－1＋1－1＋…＋1－1＝0.方法2特殊值代入法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．例2(1)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意的x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．答案(－1，＋∞)解析解法一：特殊函数法：令f(x)＝3x＋5，则由3x＋5＞2x＋4，得x＞－1.解法二：令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0，所以原不等式可化为g(x)＞g(－1)，由g(x)的单调性可得x＞－1.(2)如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且AO→＝2AK→，经过K的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n＝________.答案4解析当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线(∵AO→＝2AK→，∴K是AO的中点)，这时由于有AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.求值或比较大小关系等问题均可利用取特殊值代入求解，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．答案cba解析∵当x＞0时，f(x)＝lnx，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵f(x)是定义在R上的奇函数，2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.答案45解析解法一：(取特殊值)a＝3，b＝4，c＝5，则cosA＝45，cosC＝0，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.解法二：(取特殊角)A＝B＝C＝π3，cosA＝cosC＝12，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.方法3推理法对于概念与性质的判断等类型的题目，应按照相关的定义、性质、定理等进行合乎逻辑的推演和判断，有时涉及多选型的问题，尤其是新定义问题，必须进行严密的逻辑推理才能得到正确的结果．例3(1)(2019·洛阳市高三第三次统考)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是________．答案乙解析根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书．丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙丙学习委员，由此得到乙不是学习委员，故乙是班长．(2)(2019·衡水市全国普通高中高三大联考)现有一场专家报告会，张老师带甲、乙、丙、丁四位同学参加，其中有一个特殊位置可与专家近距离交流，张老师看出每个同学都想去坐这个位置，因此给出一个问题，谁能猜对，谁去坐这个位置．问题如下：某班10位同学参加一次全年级的高二数学竞赛，最后一道题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．听完后，四个同学给出猜测如下：甲猜：D或E答对了；乙猜：C不可能答对；丙猜：A，B，F当中必有1人答对了；丁猜：D，E，F都不可能答对，在他们回答完后，张老师说四人中只有1人猜对，则张老师把特殊位置给了________．答案丁解析①若同学A做对了，则乙、丙、丁猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；②若同学B做对了，则乙、丙、丁猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；③若同学C做对了，则丁猜对了，与题设相符，故满足题意；④若同学D做对了，则甲、乙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；⑤若同学E做对了，则甲、乙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；⑥若同学F做对了，则乙、丙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意．综上可知，同学C做对了，丁猜对了．故张老师把特殊位置给了丁．推理法讲究“推之有理，推之有据”，在推理的过程中要严格按照定义的法则和相关的定理进行，归纳推理和类比推理也要依据自身的推理法则，不能妄加推测．1．(2019·延安市模拟)甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A，B，C，已知：①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；②在延安工作的教师不教C学科；③在咸阳工作的教师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙工作的地方和教的学科分别是________、________.答案宝鸡C解析由③得在咸阳工作的教师教A学科；又由①得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；由④得乙不教B学科，结合③乙不教A学科，可得乙必教C学科，由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作，综上，乙工作的地方和教的学科分别是宝鸡和C学科．2．求“方程1213x＋513x＝1的解”有如下解题思路：设函数f(x)＝1213x＋513x，则函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，方程x6＋x2＝(2－x)3＋2－x的解集为________．答案{1，－2}解析类比上述解题思路，设f(x)＝x3＋x，由于f′(x)＝3x2＋1＞0，所以函数f(x)＝x3＋x在R上单调递增，又x6＋x2＝(2－x)3＋2－x，即(x2)3＋x2＝(2－x)3＋2－x，所以x2＝2－x，解得x＝1或x＝－2，所以方程x6＋x2＝(2－x)3＋2－x的解集为{1，－2}．方法4图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题．韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例4(1)若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．答案－1e，0解析令g(x)＝xlnx，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．由g′(x)＝lnx＋1，令g′(x)＜0，即lnx＜－1，可解得0＜x1e；令g′(x)＞0，即lnx＞－1，可解得x＞1e，所以当0＜x＜1e时，函数g(x)单调递减；当x＞1e时，函数g(x)单调递增．由此可知当x＝1e时，g(x)min＝－1e.作出函数g(x)和h(x)的简图，如图，据图可得－1e＜a＜0.(2)(2019·蚌埠市高三教学质量检查)已知函数f(x)＝ex－ax－1，g(x)＝lnx－ax＋a，若对任意x∈[1，e]，均有f(x)g(x)≤0，则实数a的最小值为________．答案1解析由f(x)＝ex－ax－1＝0，得ex＝ax＋1，设m(x)＝ex，y＝ax＋1，则直线y＝ax＋1过定点(0,1)，当x＝1时，m(1)＝e，即B(1，e)；当x＝e时，m(e)＝ee，即C(e，ee)．当直线y＝ax＋1经过点B时，e＝a＋1，即a＝e－1；当直线y＝ax＋1经过点C时，ee＝ae＋1，即a＝ee－1e.由g(x)＝lnx－ax＋a＝0，得lnx＝ax－a，设h(x)＝lnx，y＝ax－a＝a(x－1)过定点(1,0)，则h′(x)＝1x，h′(1)＝1，即过点(1,0)的切线斜率k＝1，当x＝e时，h(e)＝lne＝1，即D(e,1)．当直线y＝a(x－1)经过点D时，1＝a(e－1)，即a＝1e－1，①当a≤e－1时，ax＋1≤ex，即此时f(x)≥0，要使对任意x∈[1，e]，均有f(x)g(x)≤0，则g(x)≤0，即lnx－ax＋a≤0，则lnx≤ax－a，则此时a≥1，此时1≤a≤e－1；②当a≥ee－1e时，ax＋1≥ex，即此时f(x)≤0，要使对任意x∈[1，e]，均有f(x)g(x)≤0，则g(x)≥0，即lnx－ax＋a≥0，则lnx≥ax－a，则此时a≤1e－1，此时要求a≥ee－1e且a≤1e－1，此时a无解；③当e－1aee－1e时，ae－11，则对x∈[1，e]，均有g(x)0，但f(x)可取正值也可取负值，不满足对任意x∈[1，e]，均有f(x)g(x)≤0.综上，满足条件的a的取值范围是1≤a≤e－1，则实数a的最小值为1.图象分析法的实质就是数形结合思想方法在解决填空题中的应用，利用形的直观性结合所学知识便可得到相应的结论，这也是高考命题的热点．运用这种方法的关键是正确把握