2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分 第9讲 函数的图象与性

第9讲函数的图象与性质题型1选填题练熟练稳少丢分[考情分析]高考对函数的图象与性质的考查主要体现在函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面，题型以选择题、填空题为主，一般属于中档题．函数图象考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应关系；二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等，综合性较强．函数的零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围；函数的实际应用问题常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数等知识综合命题．1热点题型分析PARTONE热点1函数的图象及其应用1.辨识函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断．(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．2.函数图象的应用(1)利用函数图象研究函数的性质．对于已知或容易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助函数的图象来研究，但一定要注意函数的性质与图象特征的对应关系．(2)利用函数图象研究不等式．当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合思想求解．(3)利用函数图象研究方程根的个数．当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．1.(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()答案B解析∵x≠0，f(－x)＝e－x－exx2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；∵f(1)＝e－e－10，∴排除D；∵f′(x)＝ex＋e－xx2－ex－e－x2xx4＝x－2ex＋x＋2e－xx3，∴x2，f′(x)0，∴排除C；因此选B.2.(2019·山西大学附中诊断)函数f(x)＝lnx＋1－x2＋2x，x＞0，2x＋1，x≤0的零点个数为()A.0B．1C．2D．3答案C解析对于求函数f(x)＝ln(x＋1)－x2＋2x的零点个数，可以转化为方程ln(x＋1)＝x2－2x的根的个数问题，分别画出y＝ln(x＋1)，y＝x2－2x的图象如图．由图象可得两个函数有两个交点．又x0，所以有一个交点．又方程2x＋1＝0的根为x＝－120，个数是1.故函数f(x)＝lnx＋1－x2＋2x，x＞0，2x＋1，x≤0的零点个数为2.故选C.在研究函数问题时，要遵循定义域优先的原则，先确定函数的定义域，再解题．第1题易错点有二：一是函数奇偶性的判断方法不明确；二是在B，C选项的辨析上求导出错．第2题易忽略分段函数中f(x)＝ln(x＋1)－x2＋2x需x0的限制条件而错选D.热点2函数的性质及其应用1.函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，尤其注意偶函数f(x)的性质：f(－x)＝f(x)．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．2.四招破解函数的单调性(1)对于选择题、填空题，若能画出图象，则一般用数形结合法．(2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性问题来解决．(3)对于解析式为分式、指数式、对数式等较复杂的函数常用导数法．(4)对于抽象函数一般用定义法．3.三招判断函数奇偶性(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(3)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A.0f(1)f(3)B．f(3)0f(1)C.f(1)0f(3)D．f(3)f(1)0答案C解析由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故函数的最小正周期为4，又函数f(x)为奇函数，且f(x)在[0,2)上单调递减，∴f(x)在区间(－2,0]上单调递减，又f(0)＝0，∴f(x)在区间(－2,2)上单调递减．∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)f(0)f(1)，故选C.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x＞0，则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是________．答案－14，＋∞解析由题意，令g(x)＝f(x)＋fx－12，则g(x)＝2x＋32，x≤0，2x＋x＋12，0＜x≤12，1＋222x，x＞12，函数g(x)在区间(－∞，0]，0，12，12，＋∞三段区间内均单调递增，且g－14＝1,20＋0＋12＞1，1＋22212＞1，据此x的取值范围是－14，＋∞.3.(2019·青岛调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2018)＋f(－2019)＝________.解析∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2019)＝f(2019)，∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1；∴f(2018)＝f(0)＝0，f(－2019)＝f(2019)＝f(1)＝e－1.∴f(－2019)＋f(2018)＝e－1.答案e－1第1题不能正确求出函数的最小正周期而导致f(3)的值求错，易错选D.第2题易错点有二：一是分段函数fx－12的解析式与定义域易错，导致f(x)＋fx－12的解析式不明确而无从下手；二是解不等式时忽略定义域的范围限制而出错.热点3函数零点与方程的根1.判断零点个数的常用方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的具体图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出相应函数的图象，看图象交点的个数，有几个交点，就有几个零点．2.利用函数零点求参数的取值范围(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过分解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数最值问题加以解决．(3)数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A.1B．2C．3D．4答案B解析函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝12x＝12x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝12x的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.2.(2019·天津高考)已知函数f(x)＝2x，0≤x≤1，1x，x1.若关于x的方程f(x)＝－14x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A.54，94B.54，94C.54，94∪{1}D.54，94∪{1}答案D解析如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－14x＋a的图象．(1)先研究当0≤x≤1时，直线y＝－14x＋a与y＝2x的图象只有一个交点的情况．当直线y＝－14x＋a过点B(1,2)时，2＝－14＋a，解得a＝94.所以0≤a≤94.(2)再研究当x1时，直线y＝－14x＋a与y＝1x的图象只有一个交点的情况：①相切时，由y′＝－1x2＝－14，得x＝2，此时切点为2，12，则a＝1.②相交时，由图象可知直线y＝－14x＋a从过点A向右上方移动时与y＝1x的图象只有一个交点．过点A(1,1)时，1＝－14＋a，解得a＝54.所以a≥54.结合图象可得，所求实数a的取值范围为54，94∪{1}．故选D.第1题易错在不能把函数的零点转化为方程|log0.5x|＝12x的根，进而利用指数、对数函数的图象交点来解决问题；第2题利用数形结合思想，转化为直线与曲线交点的问题，易错点有二：一是分段函数图象在定义域的分界点易忽略；二是直线平移的临界位置(区间端点和切点)能不能取到.热点4函数的实际应用函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．(2)应用函数模型解决实际问题的一般程序：――→读题文字语言⇨――→建模数学语言⇨――→求解数学应用⇨――→反馈检验作答(3)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识综合解答．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．答案24解析由题意得eb＝192，e22k＋b＝48，∴e22k＝48192＝14，e11k＝12，当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝18×192＝24.本题易错点有二：一是指数式的运算e22k＋b＝e22keb能否正确运用；二是利用e11k＝12整体代换的技巧而求解本题.2真题自检感悟PARTTWO1.(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析令y＝f(x)＝2|x|sin2x，f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A，B；当x∈(0，π)时，2|x|0，sin2x可正可负，所以f(x)可正可负，排除C.故选D.2.(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50B．0C．2D．50答案C解析因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．所以f(1＋x)＝－f(x－1)，所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，选C.3.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________.答案－3解析设x0，则－x0.∵当x0时，f(x