2020高考数学二轮总复习 第1部分 层级2 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的方程与性质课件 理

第一部分高考层级专题突破层级二7个能力专题师生共研专题六解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质栏目导航感悟真题考点突破课时跟踪检测1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：选D抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23p＋y2p＝1的焦点坐标为±2p，0.由题意得p2＝2p，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D．2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．x22＋y2＝1B．x23＋y22＝1C．x24＋y23＝1D．x25＋y24＝1解析：选B设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，AF2→＝2F2B→，得B32，b2.由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B．3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x解析：选A双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.又∵离心率ca＝a2＋b2a＝3，∴a2＋b2＝3a2.∴b＝2a(a0，b0)．∴渐近线方程为2ax±ay＝0，即y＝±2x.故选A．4．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50°D．1cos50°解析：选D由题意可得－ba＝tan130°，所以e＝1＋b2a2＝1＋tan2130°＝1＋sin2130°cos2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D．5．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A．2B．3C．2D．233解析：选A依题意，双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为bx±ay＝0.因为直线bx±ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以|2b|b2＋a2＝4－1，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝1＋b2a2＝1＋3＝2，故选A．6．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A．32B．3C．23D．4解析：选B由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±13x.设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝3.则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝3·tan60°＝3.故选B．明考情1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～11题或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题第20题的位置，一般难度较大．考点一圆锥曲线的定义及标准方程|析典例|【例】(1)(2019·浉河区校级月考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若△AF1F2的面积为3，且∠F1AF2＝4∠AF1F2，则椭圆方程为()A．x23＋y2＝1B．x23＋y22＝1C．x24＋y2＝1D．x24＋y23＝1(2)(2019·宝鸡二模)已知抛物线x2＝16y的焦点为F，双曲线x24－y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF1|的最小值为()A．5B．7C．9D．11[解析](1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若△AF1F2的面积为3，可得bc＝3，且∠F1AF2＝4∠AF1F2，∴∠AF1F2＝30°，∴bc＝33，解得b＝1，c＝3，所以a＝2，则椭圆方程为x24＋y2＝1.故选C．(2)如图，由双曲线x24－y25＝1，得a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9，则c＝3，则F2(3,0)，∵|PF1|－|PF2|＝4，∴|PF1|＝4＋|PF2|，则|PF|＋|PF1|＝|PF|＋|PF2|＋4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|＋|PF2|最小等于|FF2|，∵F的坐标为(0,4)，F2(3,0)，∴|FF2|＝5，∴|PF|＋|PF1|的最小值为5＋4＝9.故选C．[答案](1)C(2)C|规律方法|1．凡涉及圆锥曲线上的点到焦点距离，一般运用定义转化处理．2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．|练题点|1．(一题多解)(2019·辽宁五校联考)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的标准方程是()A．7x216－y212＝1B．y23－x22＝1C．x2－y23＝1D．3y223－x223＝1解析：选C解法一：(定义法)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则由题意可得4a2－9b2＝1，ba＝3，解得a＝1，b＝3，所以双曲线的标准方程为x2－y23＝1；若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则由题意可得9a2－4b2＝1，ab＝3，该方程组无解．综上，所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.解法二：(待定系数法)设双曲线的方程为x2m－y2n＝1(mn0)，则由题意可得4m－9n＝1，nm＝3，解得m＝1，n＝3，所以所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.解法三：(待定系数法)因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以可设双曲线的方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，则由双曲线过点(2,3)，可得λ＝3×22－32＝3，故双曲线的方程为3x2－y2＝3，其标准方程为x2－y23＝1.2．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________．解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.因为62，所以点A在抛物线内部，如图所示．过点P作PQ⊥l于点Q，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，当PA⊥l，即A，P，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以所求点P的坐标为(2,2)．答案：72(2,2)考点二圆锥曲线的几何性质|析典例|【例】(1)(2019·合肥二模)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆离心率是()A．33B．23C．32D．22(2)(2019·湖南四校联考)已知A，B，P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝3，则该双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．3(3)(2019·常熟模拟)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1与圆C2：x2＋y2＝b2(其中a0，b0)，若在C1上存在点P，使得由点P向C2所作的两条切线互相垂直，则双曲线C1的离心率的取值范围是________．[解析](1)由条件知以线段F1A为直径的圆的方程为x－a－c22＋y2＝a＋c22，化为x2－(a－c)x＋y2－ac＝0.直线F1B的方程为bx－cy＋bc＝0，联立bx－cy＋bc＝0，x2－a－cx＋y2－ac＝0，解得Pac2－b2ca2，abc－b3＋a2ba2.kAP＝abc＋bc2ac2－b2c－a3，kF2B＝－bc.∵F2B∥AP，∴ac＋c2ac2－b2c－a3＝－1c，把b2＝c2－a2代入可化为e2＝12，又e∈(0,1)，解得e＝22.故选D．(2)由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，又kPA＝y2－y1x2－x1，kPB＝y2＋y1x2＋x1，所以kPA·kPB＝y22－y21x22－x21＝b2a2＝3，所以离心率e＝1＋b2a2＝2.(3)由题意，根据圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以|OP|＝2b；因为|OP|＝2b≥a，所以ba≥12，所以e＝ca＝a2＋b2a＝1＋ba2≥1＋12＝62；所以双曲线的离心率e的取值范围是62，＋∞.[答案](1)D(2)C(3)62，＋∞|规律方法|1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得ba或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．|练题点|1．如图，F1、F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，A，B是双曲线C上关于坐标原点O对称的两点(点A在第一象限)，直线BF1与双曲线C的另一个交点为M，且AF1⊥BF1，|MF1|＝|AF1|，则C的渐近线方程为()A．y＝±62xB．y＝±32xC．y＝±23xD．y＝±23x解析：选A连接MF2，BF2，AF2，设|MF1|＝m，|BF1|＝n，可得|AF1|＝m，AF1⊥BF1，可得四边形AF2BF1为矩形，由双曲线的定义可得|AF2|＝m－2a，|MF2|＝m＋2a，即n＝m－2a，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，(m＋m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2，解得m＝3a,9a2＋a2＝4c2＝4(a2＋b2)，化简可得b＝62a，C的渐近线方程为y＝±bax，即为y＝±62x.故选A．2．(2019·烟台一模)已知圆锥曲线C1：mx2＋ny2＝1(nm0)与C2：px2－qy2＝1(p0，q0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2的一个公共点，且满足∠F1MF2＝90°，若圆锥曲线C1的离心率为34，则C2的离心率为()A．92B．322C．32D．54解析：选BC1：x21m＋y21n＝1，C2：x21p－y21q＝1.设a1＝1m，a2＝1p，MF1＝s，MF2＝t(st)，由椭圆的定义可得s＋t＝2a1，由双曲线的定义可得s－t＝2a2，解得s＝a1＋a2，t＝a1－a2，由∠F1MF2＝90°，运用勾股定理，可得s2＋t2＝4c2，即为a21＋a22＝2c2，由离心率的公式可得，1e21＋