2020高考数学二轮总复习 第1部分 层级2 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆课件 理

第一部分高考层级专题突破层级二7个能力专题师生共研专题六解析几何第一讲直线与圆栏目导航感悟真题考点突破课时跟踪检测1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C．3D．2解析：选A由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43，故选A．2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]解析：选A设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为22，可得dmax＝22＋r＝32，dmin＝22－r＝2.由已知条件可得|AB|＝22，所以△ABP面积的最大值为12|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为12|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．故选A．3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长|AB|＝212－d2＝23，得d＝3，即|3m－3|m2＋1＝3，解得m＝－33，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝|AB|cos30°＝4.答案：44．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－1，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋160，故x1＋x2＝2k2＋4k2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得，AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，x0＋12＝y0－x0＋122＋16.解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.明考情1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．考点一直线的方程|析典例|【例】(1)(2019·日照一模)已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则sinθ＝()A．－55B．55C．－255D．255(2)(2019·黑龙江高三模拟)“m＝4”是“直线mx＋(3m－4)y＋3＝0与直线2x＋my＋3＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)(2019·安徽四校联考)已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为()A．2x＋3y＋5＝0B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0D．2x－3y＋5＝0[解析](1)倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，∴tanθ＝－1－12＝2.则sinθ＝255.(2)由m＝4，易得直线4x＋8y＋3＝0与直线2x＋4y＋3＝0平行；由直线mx＋(3m－4)y＋3＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，得m2＝3m－4m，解得m＝2或m＝4，经检验，当m＝2时，直线2x＋2y＋3＝0与直线2x＋2y＋3＝0重合，故m＝4，所以“m＝4”是“直线mx＋(3m－4)y＋3＝0与直线2x＋my＋3＝0平行”的充要条件，故选C．(3)设点A(x0，y0)，依题意可得x02－y02＋1＝0，y0x0＝－1，解得x0＝－1，y0＝1，即A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，则当d＝|AB|时d取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB.所以直线l2的斜率k＝－1kAB＝32，所以直线l2的方程为y－1＝32(x＋1)，即直线3x－2y＋5＝0.故选B．[答案](1)D(2)C(3)B|规律方法|解决直线方程问题的两个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直；两点式要求直线不能与坐标轴垂直；而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．|练题点|1．(2019·郴州模拟)已知直线l1：x＋my＋4＝0，l2：(m－1)x＋2y－8＝0，若l1⊥l2，则m的值是()A．13B．12C．2D．－1解析：选A直线l1：x＋my＋4＝0，l2：(m－1)x＋2y－8＝0，若l1⊥l2，则1×(m－1)＋2m＝0，解得m＝13.故选A．2．(2019·东莞模拟)过点(2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()A．x－2y＝0或x－y－1＝0B．x－2y＝0或x＋y－3＝0C．x＋y－3＝0或x－y－1＝0D．x－2y＝0解析：选B直线过点(2,1)，且在两坐标轴上的截距相等，当截距为0时，直线方程为x－2y＝0；当直线不过原点时，斜率为－1，直线方程为x＋y－3＝0.∴直线方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.故选B．考点二圆的方程|析典例|【例】(1)(2019·深圳模拟)圆C的半径为4，圆心在y轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋(y－6)2＝16B．(x－4)2＋y2＝16C．x2＋(y－4)2＝16D．(x－6)2＋y2＝16(2)(2019·辽阳一模)已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝36B．(x－1)2＋(y－2)2＝25C．(x－1)2＋(y－2)2＝16D．(x－1)2＋(y－2)2＝49[解析](1)根据题意，圆C的圆心在y轴的正半轴上，设圆C的圆心为(0，m)，(m0)；又由圆C的半径为4，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则有|4m＋4|32＋42＝4，解得m＝4或－6(舍)，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝16.(2)化圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r0)为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，可得圆心坐标为(1,2)，半径为r，由圆心(1,2)到直线l：3x－4y－15＝0的距离d＝|3×1－4×2－15|32＋－42＝4，且|AB|＝6，得r2＝32＋42＝25.∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选B．[答案](1)C(2)B|规律方法|求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．|练题点|1．(2019·河北省衡水中学高三调考)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是()A．y2－4x＋4y＋8＝0B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0D．y2－2x－y＋1＝0解析：选C∵圆x2＋y2＝1的圆心关于直线y＝x－1的对称点是(1，－1)，且它是圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心，∴a＝2，∴点C的坐标为(－2,2)，设圆心为P(x，y)，则有x＋22＋y－22＝|x|，即y2＋4x－4y＋8＝0.故选C．2．已知圆C的圆心在y轴上，点M(3,0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是()A．x2＋(y－3)2＝18B．x2＋(y＋3)2＝18C．x2＋(y－4)2＝25D．x2＋(y＋4)2＝25解析：选C设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为32，b2，因为直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，所以2×32－b2－1＝0，解得b＝4，所以圆C的圆心坐标为(0,4)，半径r＝|CM|＝0－32＋4－02＝5，所以圆C的标准方程是x2＋(y－4)2＝25，故选C．考点三直线与圆的位置关系|析典例|【例】(2019·河北省衡水中学高三模拟)已知圆C经过原点O(0,0)且与直线y＝2x－8相切于点P(4,0)．(1)求圆C的方程；(2)在圆C上是否存在两个点M，N关于直线y＝kx－1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．[解](1)由已知，得圆心在经过点P(4,0)且与y＝2x－8垂直的直线y＝－12x＋2上，它又在线段OP的中垂线x＝2上，所以求得圆心C(2,1)，半径为5，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)假设存在两点M，N关于直线y＝kx－1对称，则y＝kx－1通过圆心C(2,1)，求得k＝1，所以设直线MN为y＝－x＋b，代入圆的方程得2x2－(2b＋2)x＋b2－2b＝0，设M(x1，－x1＋b)，N(x2，－x2＋b)，则x1＋x2＝b＋1，x1x2＝b2－2b2，又OM→·ON→＝2x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝b2－3b＝0，解得b＝0或b＝3，这时Δ0，符合题意，所以存在直线MN，它的方程为y＝－x或y＝－x＋3符合条件．|规律方法|1．判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ0⇔相离．(2)几何法：将圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr⇔相交；d＝r⇔相切；dr⇔相离.2.弦长问题的两种求解方法(1)利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d2＋l22＝r2求解．(2)若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|.|练题点|(2019·鹤壁模拟)已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx－4.(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB＝π2时，求k的值；(2)若EF，GH为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，求四边形EGFH的面积S的最大值．解：(1)∵∠AOB＝π2，∴点O到直线l的距离d＝22×2，∴4k2＋1＝22×2，解得k＝±7.(2)设圆心O到直线EF，GH的距离分别为d1，d2，则d21＋d22＝|OM|2＝3，|EF|2＝24－d21，|GH|2＝24－d22，∴S＝12|EF|·|GH|＝24－d214－d22＝24－d211＋d21＝2－d21－322＋254，∴S≤2×52＝5，当且仅当d21＝32，即d1＝62时，取等号．