嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文以嫦娥三号登月为背景，研究的是嫦娥三号软着陆轨道设计与最优控制策略问题。根据动力学相关原理，建立了嫦娥三号软着陆轨迹模型，得到软着陆过程中各阶段的最优控制策略。针对问题一，通过已知条件求解主减速阶段运动过程，通过水平位移量反推近月点位置。建立模型一确定近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号速度大小与方向。首先以月球中心为坐标原点建立空间坐标系，根据计算的作用力可知地球影响较小，故忽略不计。然后将嫦娥三号软着陆看作抛物线的运动过程，计算在最大推力下的减速运动，求得月面偏移距离为462.4km，由此计算出偏移角度为15.25°。从而得出近月点和远月点的经纬度分别为（34.76°W，44.12°N）和（34.76°E，44.12°S）。最后在软着陆的椭圆轨道上，由动力势能和重力势能的变化，计算出嫦娥三号在远月点和近月点的速度分别为1700𝑚/𝑠和1615𝑚/𝑠，沿轨道切线方向。针对问题二，我们根据牛顿第二定律，以每个阶段初始点以及终止点的状态作为约束，以燃料消耗最少作为优化目标，可以建立全局最优模型。而通过将轨迹离散化，进行逐步迭代从而求得每个阶段的水平位移，并分别得到软着陆过程中六个过程中的着陆轨迹方程以及其对应的最优控制策略。而在粗避障以及精避障阶段，我们将所给的数字高程图均分为9块，综合考量每一块的相对高程差和平坦度指标来选取最佳着陆点。在粗避障阶段，根据燃料消耗最少的目标，选择把先将主减速发动机关闭，在进行一段时间匀加速直线运动后再打开发动机，进行减速直线运动作为最优的控制策略。针对问题三，首先我们改变近月点处到月表的距离和减速发动机的推力这两个因素，对嫦娥三号处的水平位移、燃料消耗等等因素进行灵敏度以及误差的分析，可以观察到近月点离月表的距离与水平位移和燃料消耗均呈线性正相关，同时注意到减速发动机的推力与水平位移呈线性负相关，与该燃料消耗却又呈线性正相关，这也与常识相符合。由于嫦娥三号在主减速段水平位移最大，因此我们选取该段从对近月点离月表的距离和减速发动机提供的推力变化两个变量来对模型进行阶段的误差分析，通过计算每个阶段时间的相对误差对最优化后的模型进行误差分析。最后，本文对所建立的模型进行评价，指出优缺点并提出改进的方向。关键词：抛物线；最优控制；线性正相关；相似度1.04%2一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：1.确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。2.确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。3.对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、问题分析2.1问题一的分析针对问题一，首先我们需要根据预定的着陆点的经纬度确定轨道，然后通过抛物线的运动计算出在月球着陆时的水平路程，然后计算出偏移角度，据此确定近月点的经纬度，而嫦娥三号的着陆轨道为过月球中心点的椭圆轨道，所以远月点的经纬度和近月点对称，则可以由近月点计算出远月点的经纬度。最后因为在着陆轨道上卫星的能量守恒，则可以通过势能和动能的转换来计算嫦娥三号的速度和方向。2.2问题二的分析针对问题二，确定嫦娥三号着陆轨道以及6个阶段的最优控制策略时，始终要满足燃料消耗最小原则。在问题1中已经对近月点的运动情况进行求解，近月点和主减速段终值点的位置、速度及发动机推力大小均已知，在此基础上，给定准备轨道、主减速段最优控制策略。快速调整段主要是对探测器姿态进行调整，采取与主减速同样的建模方法，得到该段质心动力学方程，在满足约束条件及阶段要求下给出具体最优控制策略。对于粗避障段，首先对其数字高程图进行划分，对每个区域的平坦程度进行分析，取最平坦区域作为着陆大致范围。同样需建立动力学模型对运动轨迹进行描述，考虑燃料消耗最少的目标，选择先匀加速后又在恒定推力下减速至0。2.3问题三的分析针对问题三，我们还是通过改变近月点离月球表面的距离和减速发动机提供的两个变量，通过MATLAB进行编程，确定对嫦娥三号在水平位移、燃料消耗等参数方面的灵敏度如何，进而求得近月点离月表的距离与水平位移和燃料消耗之间的相对关系以及更重要的是减速发动机提供的推力与水平位移及燃料消耗之间的相对关系。最后根据嫦娥三号在主减速段水平位移是最大的，进而我们选取该段从对近月点离月球表面的距离变化和减速发动机提供的推力变化两个角度3来进行我们对于模型整体的误差的分析。三、模型假设1.忽略地球等星体引力的影响；2.假设嫦娥三号在运行过程中不出现故障；3.假设飞行器变化姿态是瞬间完成的；4.不考虑任何摩擦力；5.假设月球为球体，半径以平均半径为准，并且引力场分布均匀。四、符号说明符号符号说明Δm由燃料消耗导致的嫦娥三号减少质量ℎ1嫦娥三号主减速阶段初始高度Fmax发动机推力上限M嫦娥三号净重𝑣1主减速阶段终值点速度m嫦娥三号的质量m0嫦娥三号初始质量α发动机推力方向在xoy平面的投影与x轴的夹角五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1模型的建立与分析由万有引力公式F=𝐺𝑀𝑚𝑅2计算F，再由牛顿第二定律F=ma计算地球和月球在近月点和远月点处的重力加速度。表1地球及月球在近月点和远月点的重力加速度（单位：m/s2）近月点远月点地球0.00310.0024月球1.59661.4523由上表可知，地球在近月点和远月点的重力加速度数值很小，即地球对嫦娥三号与月球影响很小，故可忽略不计。所以本模型只考虑月球对嫦娥三号的影响。根据附件内的软着陆过程示意图，即嫦娥三号将在近月点15公里处以抛物线下降，将其看作匀减速运动过程。利用MATLAB绘制嫦娥三号绕月飞行的三维动态图，更直观的反应嫦娥三号的环月飞行，如图14图1同时，由附件内嫦娥三号着陆区域和着陆点示意图可知，只要保证嫦娥三号的着陆区域在虹湾着陆区，即认为着陆成功。为保证嫦娥三号以最大概率降落到精准的着陆点和虹湾着陆区，经过分析后选择以北纬44.12°作为软着陆的绕月轨道。在这种确定纬度的绕月轨道中，月球对嫦娥三号的万有引力，可以分解为两个方向。一个是绕月的向心力，一个是与绕行面相切的力，则选择最终状态为绕赤道运行更为准确。根据实际分析，嫦娥三号的绕月平面应与南北极轴重合。5.1.2模型的求解经查阅资料，嫦娥三号主发动机能够产生从1500N至7500N的可调节推力。主减速阶段看作平抛运动：起始速度：𝑉𝑉=1.7×103𝑚/𝑠加速度的取值范围：0.625≤𝑎𝑣≤3.125m/𝑚2平抛产生的距离：x=𝑣𝑣22𝑎𝑣=462.4𝑘𝑚图2结合图2，得到准备着陆的点与软着陆点相差15.25°，即可算出近月点的经纬度，同时根据对称性，求得远月点的经纬度。由附件内信息可知距离月球表面15km时，速度大小为1700m/s，将此速度看作近月点速度，从近月点到远月点可看做是重力势能和动能转化的过程，而远月点距离地球表面为100km，可以计算出重力势能的变化，计算出远月点的速度。5𝐸𝑣2=𝐸𝑣1−𝐸ℎ2−𝐸ℎ1𝐸𝑣1=𝑚𝑣122𝐸𝑣2=𝑚𝑣222𝐸𝑣2=𝑚𝑣112−(𝐺𝑀月𝑚𝑅+ℎ−𝐺𝑀月𝑚𝑅+𝐻)由此可得到近月点、远月点的速度以及经纬度：表2近月点、远月点的速度以及经纬度近月点远月点速度1700m/s1615m/s经纬度(34.76°W,44.12°N)(34.76°E，44.12°S)5.2问题二5.2.1着陆准备阶段嫦娥三号在着陆准备轨道上绕月球做椭圆运动，当且仅当其处于近月点时，恰好刚刚进入着陆轨迹。基于问题1中求解结果可知，在该模型坐标系下，以最小燃料消耗为目标，嫦娥三号在近月点处的飞行状态如下表所示：表3嫦娥三号在近月点处飞行状态数据表推力方向速度大小速度方向位置坐标vA的反向1692m/s切于A点且α=9.654°19.51°W31.68°N根据表3中相应数据，对嫦娥三号的着陆轨道初始点位置进行选定，其着陆准备轨道必然在近月点与远月点经纬度及着陆点位置三点所构成的平面之内，且由已知条件近月点海拔15千米、远月点海拔100千米和月球形状扁率1/963.7256，可以完全确定着陆准备的椭圆轨道，在该轨道近月点处，按照表中飞行状态数据作为最优控制策略，对嫦娥三号进行控制。5.2.2主减速阶段最优控制模型5.2.2.1模型的建立设计主减速段的控制策略时，需根据燃料消耗最小原则进行设计，为此，定义燃料消耗的性能指标[1]：min𝛥𝑚=∫𝑚′(𝑡)𝑑𝑡𝑡0（1）其中，m’为单位时间燃料消耗；Δm为由燃料消耗导致的嫦娥三号减少质量。由题目可知比冲关系：𝐹推=𝑚′𝑣𝑒=𝑣𝑒𝑑𝑚𝑑𝑡（2）嫦娥三号的质量变化：m=𝑚0−𝛥𝑚（3）其中，m为嫦娥三号的质量；m0为嫦娥三号初始质量。6由于嫦娥三号着陆方式符合重力转弯软着陆[1]的情况，即𝐹推的方向与下降速度方向相反，α为发动机推力方向在xoy平面的投影与x轴的夹角。将推力分别沿x，y方向进行分解，根据牛顿第二定律可得：−𝐹推𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑚𝑎𝑥（4）m𝑔月−𝐹推𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑚𝑎𝑦（5）将（2）、（3）带入（4）、（5）中化简可得：𝑎𝑥=−𝐹推𝑐𝑜𝑠𝛼𝑚0−∆𝑚（6）𝑎𝑦=𝑔月−𝐹推𝑠𝑖𝑛𝛼𝑚0−∆𝑚（7）利用（6）、（7）并结合质点运动的微分方程，最终得到嫦娥三号软着陆主减速阶段轨迹的微分方程：{𝑑2𝑥𝑑𝑡2=−𝐹推𝑐𝑜𝑠𝛼𝑚0−∆𝑚𝑑2𝑦𝑑𝑡2=𝑔月−𝐹推𝑠𝑖𝑛𝛼𝑚0−∆𝑚（8）而其中约束条件分为边值约束以及过程约束。边值约束为：a.初值约束：𝑦|𝑡=0=ℎ1，𝑑𝑥𝑑𝑡|𝑡=0=𝑣𝐴，𝑑𝑦𝑑𝑡|𝑡=0=0b.终值约束：𝑦|𝑡=𝑡1=ℎ2，𝑑𝑠𝑑𝑡|𝑡=𝑡1=𝑣1过程约束为：a.推力约束：0≤𝐹推≤𝐹𝑚𝑎𝑥b.高度约束：h≥rc.质量约束：M≤m≤𝑚0其中，ℎ1为嫦娥三号主减速阶段初始高度；ℎ2为主减速阶段终值点的高度；𝑣1为主减速阶段终值点速度；t1为主减速阶段时间；Fmax为发动机推力上限；r为月球半径；M为嫦娥三号净重。原则为燃料消耗最小原则：∆m=∫𝐹推𝑣𝑒𝑑𝑡𝑡10最小。5.2.2.2模型的求解利用MATLAB软件进行求解，求解结果如表4，着陆轨道如图3表4主减速阶段最优控制策略推力方向燃料消耗时间水平位移末速度7500Nv的反向1075kg421.2s377095m57.15m/s7图3主减速阶段运动轨迹5.2.3快速调整阶段最优控制模型5.2.3.1模型的建立采用与模型1同样的建模方法，可得到嫦娥三号快速调整阶段动力学方程{𝑑2𝑥𝑑𝑡2=−𝐹推𝑐𝑜𝑠𝛼𝑚1−∆𝑚𝑑2𝑦𝑑𝑡2=𝑔月−𝐹推𝑠𝑖𝑛𝛼𝑚1−∆𝑚（9）其中m1主减速阶段终止点嫦娥三号的质量。边值约束条件：a)初值约束：𝑦|𝑡=𝑡1=ℎ2，𝑥|𝑡=𝑡1=𝑥2，𝑑𝑥𝑑𝑡|𝑡=𝑡1=𝑣𝑥1，𝑑𝑦