2020版新教材高中数学 第三章 函数 3.1.2.1 函数的单调性课件 新人教B版必修1

3.1.2函数的单调性第1课时函数的单调性1.函数单调性的定义设函数y=f(x)的定义域为D，且I⊆D，如果对任意x1，x2∈I，当x1x2时，函数增函数减函数图示条件都有f(x1)f(x2)都有f(x1)f(x2)结论在I上是增函数在I上是减函数【思考】函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？提示：不能，不能用特殊代替一般.2．函数的单调性与单调区间函数y=f（x）在区间I上是增函数或减函数，则函数在区间I上具有单调性，区间I叫函数的单调区间，分别称为单调递增区间或单调递减区间.【思考】区间I一定是函数的定义域吗？提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数f(x)=2x2，若f(-1)f(2)，则函数在R上是增函数.()(2)函数f(x)=在(-∞，0)∪(0，+∞)上是减函数.()(3)函数f(x)在定义域或其某一个子区间上一定有严格的单调性.()1x提示：(1)×.函数f(x)=2x2在(0，+∞)上是增函数.(2)×.函数f(x)=的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，不能用“并”表示.(3)×.常数函数不具有严格的单调性.1x2.如图是函数y=f(x)的图像，则函数f(x)的单调递减区间是()A.(-1，0)B.(1，+∞)C.(-1，0)∪(1，+∞)D.(-1，0)，(1，+∞)【解析】选D.若函数单调递减，则对应图像为下降的，由图像知，函数在(-1，0)，(1，+∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(-1，0)，(1，+∞).3.若y=f(x)是定义在(-∞，+∞)上是减函数，且f(x)f(2x-2)，则x的取值范围为________.【解析】因为y=f(x)是定义在(-∞，+∞)上是减函数，所以由f(x)f(2x-2)，得x2x-2，所以x2，所以x的取值范围为(-∞，2).答案：(-∞，2)类型一利用图像求函数的单调区间【典例】1.如图是定义在区间[-2，2]的函数y=f(x)，则f(x)的单调递减区间是________.2.函数f(x)=x|x|-2x的单调递增区间为________.【思维·引】1.图像从左到右下降的区间为单调递减区间.2.分情况去掉绝对值，作出图像确定单调递增区间.【解析】1.由图像可以看出f(x)的单调递减区间是[-1，1].答案：[-1，1]2.x≥0时，f(x)=x2-2x，对称轴为x=1，开口向上，在(1，+∞)单调递增，x0时f(x)=-x2-2x，对称轴x=-1，开口向下，在(-∞，-1)单调递增，所以函数的单调递增区间是(-∞，-1)和(1，+∞).答案：(-∞，-1)和(1，+∞)【内化·悟】怎样求函数的单调区间？提示：作出函数的图像，利用图像的上升、下降确定单调区间.【类题·通】图像法求函数单调区间的步骤①作图：作出函数的图像；②结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间.【习练·破】函数f(x)=|x+2|的单调递增区间是________.【解析】f(x)=|x+2|=所以x≥-2时，f(x)=x+2单调递增，所以f(x)的单调递增区间为[-2，+∞).答案：[-2，+∞)x2x2x2x2，，【加练·固】画出函数y=|x|(x-2)的图像，并指出函数的单调区间.【解析】y=|x|(x-2)=函数的图像如图所示.2222x2x(x1)1,x0,x2x(x1)1,x0,由函数的图像知：函数的单调递增区间为(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为(0，1).类型二利用定义证明函数的单调性【典例】1.下列函数中，在R上是增函数的是()A.y=|x|B.y=xC.y=x2D.y=1x2.证明函数f(x)=x-在(0，+∞)上是增函数.世纪金榜导学号1x【思维·引】1.考查当x增大时，函数值y的变化.2.利用单调性的定义证明.【解析】1.选B.根据题意，依次分析选项：对于A选项，y=|x|=在R上不是增函数，不符合题意；xx0xx0，，，，对于B选项，y=x，为正比例函数，在R上是增函数，符合题意；对于C选项，y=x2，为二次函数，在R上不是增函数，不符合题意；对于D选项，y=，为反比例函数，在R上不是增函数，不符合题意.1x2.任取x1，x2∈(0，+∞)且x1x2，则x1-x20，那么f(x1)-f(x2)=12121212111(x)(x)(xx)(1)xxxx，因为x1，x2∈(0，+∞)，所以x1x20，所以1+0，又x1-x20，所以f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.121xx【内化·悟】如果函数是增函数，x与y的关系是什么？减函数呢？提示：如果函数是增函数，当x增大时，y增大；如果函数是减函数，当x增大时，y减小.【类题·通】利用定义证明函数单调性的步骤【习练·破】已知函数f(x)=(m0)，证明在(-∞，2)上是增函数.mx2【证明】任取x1，x2∈(-∞，2)且x1x2，则x1-x20，那么f(x1)-f(x2)=由x1x22，x1-20，x2-20，又m0，x1-x20，故f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(-∞，2)上单调递增.211212m(xx)mmx2x2(x2)(x2)，【加练·固】证明：函数f(x)=在(-∞，1)上是减函数.2xx1【证明】任取x1，x2∈(-∞，1)且x1x2，则x1-x20，则f(x1)-f(x2)=因为x1x21，(x1-1)(x2-1)0，又x1-x20，所以x2-x10，故f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(-∞，1)上单调递减.122112122x2x2(xx)x1x1(x1)(x1)，类型三函数单调性的简单应用角度1利用单调性解函数不等式【典例】已知函数f(x)的定义域为[-2，2]，且f(x)在区间[-2，2]上是增函数，f(1-m)f(m)，则实数m的取值范围为________.世纪金榜导学号【思维·引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围.【解析】因为f(x)的定义域为[-2，2]，所以解得-1≤m≤2，因为f(x)是增函数，所以1-mm，所以m0.5，所以0.5m≤2.答案：0.5m≤221m22m2,，【素养·探】单调性的应用时，常常用到核心素养中的逻辑思维，利用单调性转化不等式，从而求出变量的范围.本例的条件若改为“减函数”，试求m的取值范围.【解析】因为f(x)的定义域为[-2，2]，所以解得-1≤m≤2，因为f(x)是减函数，所以1-mm，所以m0.5，所以-1≤m0.5.答案：-1≤m0.521m22m2，，角度2分段函数的单调性【典例】若函数f(x)=在R上为增函数，则实数b的取值范围为()世纪金榜导学号A.[1，2]B.C.(1，2]D.1(,2]21(2)2，【思维·引】分别考虑x0，x0，分界点三个方面的因素求范围.【解析】选A.因为函数f(x)=在R上为增函数，所以解得1≤b≤2.2(2b1)xb1x0x(2b)xx0，，，，2b102b02b10，，，【类题·通】由函数单调性求参数范围的类型及处理方法(1)由函数解析式求参数(2)分段函数的单调性首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则界点左侧值大于等于右侧值.【发散·拓】关于“对勾”函数f(x)=x+(a0)的单调性.函数y=x+(a0)的图像如图所示：axax则函数y=x+的单调增区间是(-∞，-]和[，+∞)，单调减区间是(-，0)和(0，).axaaaa【延伸·练】(2019·银川高一检测)函数f(x)=x+(x0)的单调减区间是()A.(2，+∞)B.(0，2)C.(，+∞)D.(0，)2x22【解析】选D.函数f(x)=x+(x0)，根据对勾函数图像及性质可知，函数f(x)=x+(x0)在(，+∞)单调递增，函数f(x)在(0，)单调递减.2x2x22【习练·破】1.函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在[1，+∞)上单调递增，则k的取值范围是()A.(0，+∞)B.C.D.2(]5，2[)3，2[)5，【解析】选D.当k=0时，f(x)=-2x-5在R上单调递减，不符合题意，当k≠0时，因为函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在[1，+∞)上单调递增，所以解得：k≥综上所述，k的取值范围是.k023k12k，，25，2[)5，2.若函数f(x)=是(-∞，+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________.2x3ax0xax1x0，，【解析】由题意，因为f(x)在R上是减函数，x0时f(x)=x2-ax+1，其过定点(0，1)，且x0时是减函数，所以对称轴x=≥0，①a2又因为x≥0时，f(x)=-x+3a，是减函数，且在R上是减函数，所以3a≤1，②由①②得0≤a≤答案：13．1[0]3，【加练·固】已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数f(x)的图像过点(1，4)和(2，5)，求f(x)的解析式.(2)若函数f(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)的图像过点(1，4)和(2，5)，所以解得所以f(x)=x2-2x+5.1ab4,42ab5,a2,b5,(2)函数f(x)的对称轴方程为x=要使函数f(x)在区间[1，2]上不单调，则12，解得-4a-2.a2，a2