2020版新教材高中数学 第三章 函数 3.1.1.4 分段函数课件 新人教B版必修1

第4课时分段函数1.分段函数的定义一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.【思考】分成两段的分段函数是两个函数吗？提示：不是，分段函数是一个函数，只是在不同的取值范围上对应方式不一样.2.几个特殊的函数(1)高斯取整函数y=[x]，定义域为R，值域为Z.(2)狄利克雷函数D(x)=定义域为R，值域为{0，1}.1,xQ,0,xQ,(3)常数函数y=c，c为常数，定义域为R，值域为{c}，图像为垂直于y轴的直线.【思考】能否用图像表示狄利克雷函数？提示：不能，无法作出狄利克雷函数的图像.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)分段函数y=的定义域为(-∞，1].()(2)函数y=|x|不是分段函数.()(3)常数函数的图像是垂直于x轴的直线.()x,x1,x,x1提示：(1)×.分段函数y=的定义域为(-∞，1]∪[1，+∞)=R.(2)×.函数y=|x|=是分段函数.(3)×.常数函数的图像是垂直于y轴的直线.x,x1,x,x1x,x0,x,x02.已知函数f(x)=则f(f(-3))的值为________.x4,x0,x4,x0,【解析】因为f(x)=所以f(-3)=-3+4=1，f(f(-3))=f(1)=1-4=-3.答案：-3x4,x0,x4,x0,3.设函数f(x)=若f(x0)=8，则x0=______.2x2,x2,2x,x2,【解析】由题意，得(1)当x0≤2时，有+2=8，解之得x0=±，而2不符合，所以x0=-.(2)当x02时，有2x0=8，解之得x0=4.综上所述，得x0=4或-.答案：4或-20x66666类型一分段函数的图像【典例】高斯取整函数y=[x]又称“下取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数；称函数y=x为“上取整函数”，其中x表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：[1.3]=1，[-1.3]=-2，-2.3=-2，2.3=3.(1)函数f(x)=x·[x]，x∈[-2，2]，求(2)试作出函数y=[x]+x的图像，其中-1≤x≤1.33f()f().22和【思维·引】1.根据两个取整函数的定义由内向外求值.2.先将函数的解析式分段表示，再作图.【解析】(1)函数f(x)=x·[x]，x∈[-2，2]，因为则=3=3，则3333[]2[](2)32222，所以，33[]223f()32；因为则==2，则=2.33333[]1[]122222，所以，33[]22323f()2(2)当x=-1时，[-1]=-1，-1=-1，此时y=[x]+x=-1-1=-2，当-1x0时，[x]=-1，x=0，此时y=[x]+x=-1+0=-1，当x=0时，[0]=0，0=0，此时y=[x]+x=0，当0x1时，[x]=0，x=1，此时y=[x]+x=0+1=1，当x=1时，[1]=1，1=1，此时y=[x]+x=1+1=2，则y=[x]+x=2,x1,1,1x0,0,x0,1,0x1,2,x1,作图：【内化·悟】作分段函数的图像的关键是什么？提示：确定解析式.【类题·通】分段函数图像的作法(1)若函数的解析式中含有如取整、取绝对值等运算符号，则分情况去掉，分段表示解析式.(2)分段描点作图.(3)检查图像接点处点的虚实，做到不重不漏.【习练·破】(2019·石嘴山高一检测)已知函数f(x)=x|x-m|(x∈R)，且f(1)=0.(1)求m的值，并用分段函数的形式来表示f(x).(2)在如图给定的直角坐标系内作出函数f(x)的草图(不用列表).【解析】(1)因为f(1)=0，所以|m-1|=0，即m=1，所以f(x)=x|x-1|=22xx(x1),xx(x1).(2)函数图像如图：【加练·固】已知函数f(x)=|x-1|.(1)用分段函数的形式表示该函数.(2)在右边所给的坐标系中画出该函数的图像.【解析】(1)y=(2)作图：x1,x1,x1,x1.类型二分段函数的解析式及应用【典例】1.设f(x)=则f(5)的值为()A.10B.11C.12D.13x2(x10),f(f(x6))(x10),2.设f(x)=则使得f(m)=1成立的m值是()A.10B.0，10C.-2，0，10D.-1，1，112(x1)(x1),4x1(x1),3.如图，定义在[-1，+∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.世纪金榜导学号【思维·引】1.先求f(5+6)，再求f(f(5+6)).2.分段令f(m)=1，解方程求m.3.第一段为一次函数，第二段为二次函数，待定系数法求解析式.【解析】1.选B.因为f(x)=所以f(5)=f(f(11))=f(9)=f(f(15))=f(13)=11.x2(x10),f(f(x6))(x10),2.选C.当m1时，f(m)=(m+1)2=1，所以m=-2或m=0，当m≥1时，f(m)==1，所以m=10，综上：m的取值为：-2，0，10.4m13.当-1≤x≤0时，设解析式为y=kx+b(k≠0)，则解得所以y=x+1，当x0时，设解析式为y=a(x-2)2-1(a0)，k1b1，，kb0b1－，，因为图像过点(4，0)，所以0=a(4-2)2-1，解得a=所以f(x)=答案：f(x)=14，2x11x01(x2)1x0.4，－，－－，2x11x01(x2)1x04，－，－－，【内化·悟】已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定义域.【类题·通】1.分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.分段函数求自变量值的方法分段令f(x)等于已知的函数值，解方程求根，验证求出的根是否在该段的自变量范围内，不在范围内的舍去.3.求分段函数的解析式的方法首先确定每一段上函数的类型，利用待定系数法求每一段上的解析式，其次写函数的解析式时，要注意图像中连接点的虚实，以确定自变量范围中端点的取舍.【习练·破】1.已知函数f(x)=若f(x)=5，则x的值是()A.-2B.2或C.2或-2D.2或-2或2x1,x0,2x,x0,5252【解析】选A.由题意，当x≤0时，f(x)=x2+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=-2；当x0时，f(x)=-2x=5，得x=舍去.52，2.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是________.【解析】因为f(x)的图像由两条线段组成，所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得f(x)=答案：f(x)=x11x0x0x1.，，，x1x[10)xx[01]，，，，，【加练·固】已知函数f(x)=则f(f(5))=()A.0B.-2C.-1D.12x4x3,x0,3x,x0,【解析】选C.因为50，将x=5代入函数解析式，得f(5)=3-5=-2，所以f(f(5))=f(-2)，因为-20，将x=-2代入函数解析式，得f(-2)=(-2)2+4×(-2)+3=-1.类型三分段函数的综合问题角度1范围问题【典例】已知f(x)=则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是世纪金榜导学号()A.[-2，1]B.(-∞，-2]C.D.1,x0,1,x0,3[2,]23(,]2【思维·引】分x+2≥0，x+20两种情况解不等式.【解析】选D.(1)当x+2≥0，即x≥-2时，f(x+2)=1，由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x+x+2≤5，所以x≤即-2≤x≤3,23.2(2)当x+20，即x-2时，f(x+2)=-1，由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x-(x+2)≤5，即-2≤5成立，所以x-2.综上，不等式的解集为3{x|x}.2【素养·探】在分段函数求范围的过程中，常常用到核心素养中的数学运算，通过分情况后代入解析式，解不等式求范围.若将本例中的条件改为“已知f(x)=”试求不等式的解集.1,x1,1,x1,【解析】(1)当x+2≥1，即x≥-1时，f(x+2)=1，由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x+x+2≤5，所以x≤即-1≤x≤3,23.2(2)当x+21，即x-1时，f(x+2)=-1，由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x-(x+2)≤5，即-2≤5，所以x-1.综上，不等式的解集为3{x|x}.2角度2值域问题【典例】已知函数f(x)=世纪金榜导学号(1)求的值.(2)画出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.2x2(x1),x(1x1),x2(x1).5f(f())2【思维·引】(1)先求再求(2)从左向右，图像分别为射线、抛物线、射线，分段作出图像，观察图像的最高点、最低点，然后确定值域.5f()2，5f(f()).2【解析】(1)(2)由图像可知，函数的值域是(-∞，1].511f(f())f()224．【类题·通】1.已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论.(2)然后代入不同的解析式中.(3)通过解方程求出字母的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.2.分段函数的值域(1)利用不等式的性质分段求出值域，再取各段上值域的并集，即为函数的值域.(2)作出分段函数的图像，由图像观察函数值的取值范围.【习练·破】1.已知f(x)=使f(x)≥-1成立的x的取值范围是()A.[-4，2)B.[-4，2]C.(0，2]D.(-4，2]21x1,x0,2(x1),x0,【解析】选B.因为f(x)≥-1，所以或所以-4≤x≤0或0x≤2，即-4≤x≤2.x0,1x11,22x0,(x1)1,2.若f(x)=则f(x)的值域为______.x7,x[1,1],2x6,x[1,2],【解析】当x∈[-1，1]时，f(x)=x+7，在[-1，1]上6≤x+7≤8，当x∈[1，2]时，f(x)=2x+6，在[1，2]上8≤2x+6≤10，所以函数f(x)的值域为[6，10].答案：[6，10]【加练·固】已知f(x)=(1)画出函数f(x)的图像.(2)求f(x)的定义域和值域.2x1x11x1x1.，，，或【解析】(1)作出f(x)的图像，如图所示.(2)观察函数图像可知，函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1].