2020版七年级数学下册 第4章 相交线与平行线 4.5 垂线课件 （新版）湘教版

4.5垂线【知识再现】1.直角等于90°;一个平角等于______个直角.2.经过直线外一点有且_____________直线平行于这条直线.3.连接两点间的线段的长度叫做这两点间的_________.2只有一条距离【新知预习】阅读教材P96-P100,解决以下问题:1.垂直的定义如图,直线AB和CD相交于点O,∠AOC=90°,则这两条直线叫做_____________,记做___________,其中一条直线叫做另一条直线的_________,它们的交点叫_________.互相垂直AB⊥CD垂线垂足2.两条重要结论(1)在同一平面内,如图,a⊥m,b⊥m,所以∠1=∠2=_________(垂直的定义),所以_________(同位角相等,两直线平行).归纳:在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线_________.90°a∥b平行(2)如图,在同一平面内,如果a∥b,m⊥a,因为m⊥a,所以∠1=_________,因为a∥b,所以____________,所以∠2=_________,所以_________.归纳:在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么这条直线_________于另一条.90°∠1=∠290°b⊥m垂直3.已知直线L和直线上一点A,过点A画直线L的垂线只能画_______条;经过直线L外一点B画直线L的垂线也只能画_______条.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点______________条直线与已知直线垂直.一一有且只有一4.如图,设PO⊥AB于O,线段PO叫做点P到直线AB的_______线段.PA,PB,PC,PD叫做_______线段.从直线外一点到这条直线的垂线段的_________叫做点到直线的距离.垂线的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,___________最短.简单说成:___________最短.垂斜长度垂线段垂线段【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.在同一平面内,下列语句正确的是()A.过一点有无数条直线与已知直线垂直B.和一条直线垂直的直线有两条CC.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.两直线相交,则一定垂直2.如图,OA⊥OB,若∠1=55°,则∠2的度数是()A.35°B.45°C.55°D.65°A3.体育课上,老师测量跳远成绩的依据是()A.两直线间的距离B.两点之间,线段最短C.垂线段最短D.两点确定一条直线C知识点一垂线的概念及角的计算(P97例1拓展)【典例1】如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数.(2)若∠1=∠BOC,求∠AOC和∠MOD的度数.14【尝试解答】(1)因为OM⊥AB,∠1=∠2,所以∠1+__________=∠2+__________=_________,即∠CON=90°,………………垂直定义所以ON⊥CD………………垂直定义所以∠NOD=_________………………垂直定义∠AOC∠AOC90°90°(2)因为OM⊥AB,∠1=∠BOC,所以∠1=_________,∠BOC=__________,………………角度的计算又因为∠AOC+∠BOC=__________,…………………………邻补角定义1430°120°180°所以∠AOC=_________,…………角度的计算因为∠1+∠MOD=180°,…………邻补角定义所以∠MOD=__________.…………角度的计算60°150°【学霸提醒】垂直的两层意义(1)位置关系:垂直是两直线相交的特殊位置关系.(2)数量关系:垂直说明某些角的度数是90°,为计算角的度数提供了数量关系.【题组训练】1.已知在同一平面内:①两条直线相交成直角;②两条直线互相垂直;③一条直线是另一条直线的垂线.那么下列因果关系:①→②③;②→①③;③→①②中,正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个D★2.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为__________.世纪金榜导学号140°★★3.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.世纪金榜导学号(1)∠AOC等于∠BOD吗?请说明理由.(2)若∠BOD=32°,求∠AOE的度数.解:(1)∠AOC=∠BOD.理由如下:因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=∠COD=90°,所以∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC,即∠AOC=∠BOD.(2)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,所以∠AOE=90°-∠BOD=58°.知识点二垂线的性质及其应用(P100做一做T2拓展)【典例2】如图,AOB为一条在O处拐弯的河,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路.如果不考虑其他因素,这两种方案哪一个经济一些?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳的方案,并简要说明理由.【思路点拨】根据点到直线的距离定义和垂线段最短分析得出结论.【自主解答】因为在直角三角形POM中,PMPO,所以这两种方案沿PO修路更经济些,它不是最佳方案,过点P作PN⊥OB于点N,因为OPPN,PN是点P到OB上的最短路线,所以此方案是最佳方案.【学霸提醒】认识垂线及其性质的四点注意(1)线段和射线都有垂线.(2)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数值,而垂线段是一个图形,对此要分清楚.(3)在实际问题中,确定路径最短或最短距离问题时,首先将实际问题转化成数学问题,再作出垂线,并求出具体数值.(4)要分清“两点之间线段最短”和“垂线段最短”.【题组训练】1.(2019·建邺区期末)若直线l外一点P与直线l上四点的连线段长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,则点P到直线l的距离最接近()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cmA★2.如图所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段()A.2条B.3条C.4条D.5条C★3.如图所示,已知ON⊥L,OM⊥L,所以OM与ON重合,其理由是()A.过两点有且只有一条直线B.过一点只能作一条直线CC.在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短★★4.如图所示,建筑工人用“铅垂线”可检查所砌的墙面是否与水平线垂直,你知道其中道理吗?世纪金榜导学号解:铅垂线总是垂直于水平面,建筑工人用铅垂线看所砌墙面是否与铅垂线重合来判断所砌墙面是否与水平线垂直.【火眼金睛】如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5cm,BC=3cm,则BD长度的取值范围是()A.大于3cmB.小于5cmC.大于3cm或小于5cmD.大于3cm且小于5cm【正解】选D.由垂线段最短可知:ABBDBC,所以BD大于3cm,小于5cm.【一题多变】如图,已知直线AB上一点O,OC⊥AB,OD⊥OE,若∠COE=∠BOD.(1)求∠COE,∠BOD,∠AOE的度数.(2)若OF平分∠BOE,求∠AOF的度数.15解:(1)因为∠COE=∠BOD,所以设∠COE=x,则∠BOD=5x,因为OD⊥OE,所以∠DOE=90°,所以∠BOE=∠BOD-∠DOE=5x-90°,因为OC⊥AB,所以∠BOC=90°,15所以∠COE+∠BOE=90°,所以x+5x-90°=90°,解得x=30°,所以∠COE=30°,所以∠BOD=5x=150°,所以∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+30°=120°.(2)因为OF平分∠BOE,所以∠BOF=∠BOE.因为∠BOE=90°-∠COE=60°,所以∠BOF=30°,所以∠AOF=180°-∠BOF=150°.12【母题变式】如图,直线AB与CD相交于O,OE是∠AOC的平分线,OF⊥CD,OG⊥OE,∠BOD=52°,(1)求∠AOF的度数.(2)∠EOF与∠BOG是否相等?请说明理由.解:(1)因为OF⊥CD,所以∠COF=90°,又因为∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD=52°,所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-52°=38°.(2)相等.理由:∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD=52°,因为OE是∠AOC的平分线,所以∠AOE=∠AOC=26°,又因为OG⊥OE,12所以∠EOG=90°,所以∠BOG=180°-∠AOE-∠EOG=64°.而∠EOF=∠AOF+∠AOE=38°+26°=64°,所以∠EOF=∠BOG.