2020版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用&1.6 利用三角函数

5三角函数的应用6利用三角函数测高【知识再现】解直角三角形：指已知一边一角或两边，求除直角外的其他元素.【新知预习】阅读教材P19-P23，解决下列问题1.方位角：如图，点A在点O的北偏东_________方向；点B在点O的___________45°方向；点C在点O的______________方向；点D在点O的________________方向.题目中点O是观测点，故点O为方向坐标的原点.60°南偏东南偏西80°北偏西30°你的结论：(1)描述一点在另一个点的位置时，通常写为南(北)偏东(西)多少度.如在点P观测，就以点P建立方向坐标.(2)方位角：在水平面上，过观测点O作一条水平线(向右为东方)和一条铅垂线(向上为北方)，则从O点出发的_________与___________________的夹角叫做观测的方位角.视线水平线或铅垂线2.仰角与俯角定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.3.测量物体高度需要的工具测量物体的高度要用到___________(或经纬仪、测角仪等)、_________等测量工具.测倾器皮尺【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12nmile到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是()A.6nmileB.8nmileC.2nmileD.4nmileD3332.如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒.若∠BAC=α，则此车的速度为()A.5tanα米/秒B.80tanα米/秒C.米/秒D.米/秒A5tan80tan3.从高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处的仰角为_________.30°知识点一与方位角有关的问题(P21习题1.6T4变式)【典例1】如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC=4km.求码头A，B之间的距离.(结果保留根号)【规范解答】如图，作CD⊥AB于点D.…………作辅助线，得直角三角形∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°-60°=30°，∴CD=AC·sin∠CAD=4×=2(km)，12AD=AC·cos∠CAD=4×(km).…………解直角三角形∵在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴BD=CD=2(km)，…………解直角三角形∴AB=AD+BD=2+2(km).…………线段的和差3232＝3【学霸提醒】运用三角函数解决实际问题的“三步法”【题组训练】1.(2019·深圳模拟)如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC=75米，∠ACB=55°，那么A和B之间的距离是()CA.75·sin55°米B.75·cos55°米C.75·tan55°米D.米75tan55★2.(2019·济宁市微山一模)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=2km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为世纪金榜导学号()A.2kmB.kmC.kmD.(+1)kmC332★3.如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行()A.10(+1)海里B.10(-1)海里C.20(+1)海里D.20(-1)海里A3333★★4.我国海域辽阔，渔业资源丰富.如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上.在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18(1+)nmile处，则海岛A，C之间的距离为________nmile.世纪金榜导学号3182知识点二测量物体的高(P25复习题P10“补充”)【典例2】(2019·淮安市洪泽区一模)如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度.(测角仪高度忽略不计)【规范解答】由题意得，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=60m…………确定已知条件设AD=xm…………设未知数在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=∴CD=……………………解直角三角形ADADADxtanACDtan45＝，ADCD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=∴BD=∴BD=x…………解直角三角形∵CD=BD-BC，∴x=x-60…………列方程解得，x=30(+1)米…………解方程答：山高AD为30(+1)米.…………作答ADBD，ADxtanBtan303333【学霸提醒】与测量有关的常见图形与关系式图形关系式BD=CE，AC=BC·tanα，AE=AC+CEBD=BC-DC=AC·AG=AC+CG=AC+BE11()tantan图形关系式BC=DC-BD=AD·(tanα-tanβ)BC=BD+DC=AD·11()tantan【题组训练】1.(2019·苏州中考)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是()A.55.5mB.54mC.19.5mD.18mC3★2.(2019·杏花岭区月考)如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内滑梯的倾斜角由45°降为30°，已知点D，B，C在同一水平地面上，且BD的长为2米，则改造后滑梯的长度AD是___________米.(保留根号)2+23★3.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°.n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是_____________km.世纪金榜导学号(20-20)3★4.(2019·天津中考)如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60.解：在Rt△CAD中，tan∠CAD=则AD=在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，∵AD=AB+BD，∴CD=CD+30，解得CD=45.答：这座灯塔的高度CD约为45m.CDAD，CD5CDtan313，53【火眼金睛】如图，飞机飞行高度BC为1500m，飞行员看地平面指挥塔A的俯角为α，则飞机与指挥塔A的距离为()A.mB.1500sinαmC.mD.m1500sin1500cos1500tan正解：选A.在Rt△ABC中，∵俯角是α，∴∠A=α，∴sinαBCBC1500ABm.ABsinsin，【一题多变】如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC.小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米.(1)求∠BCD的度数.(2)求旗杆AC的高度.解：(1)过点C作CE⊥BD于点E，则DF∥CE，AB∥CE.∵DF∥CE，∴∠ECD=∠CDF=30°.同理∠ECB=∠ABC=45°，∴∠BCD=∠ECD+∠ECB=75°.(2)在Rt△ECD中，∠ECD=30°，∵tan∠ECD=∴DE=CE·tan∠ECD=CE，同理BE=CE，∵BD=BE+DE，∴20=CE+CE，CE==10(3-)(米)，∴AC=10(3-)米.DECE，3333603333答：(1)∠BCD为75°.(2)旗杆AC的高度为10(3-)米.3【母题变式】【变式一】(变换条件)如图，两根竹竿AB和AC斜靠在墙BD上，量得∠ABD=37°，∠ACD=45°，BC=50cm，求竹竿AB和AC的长(结果精确到0.1cm).参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41.2解：设AD=xcm.由题意可得：AD=DC=xcm，故tan37°==0.75，解得：x=150，故AD=CD=150(cm)，则AC=150≈211.5(cm)，则BD=200cm，故sin37°==0.60，解得：AB=250.0cm，答：竹竿AB的长为250.0cm，AC的长为211.5cm.ADxBDx50＝2AD150ABAB＝【变式二】(变换结论)如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1+)米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是______米/秒.3221