初中数学专题复习97.几何图形中的动点问题-三角形

1/55几何图形中的动点问题—三角形一、三角形相关几何动点问题1.【易】（2011年巴彦淖尔市初中毕业、高中招生统一考试试卷（2011内蒙古巴彦淖尔市）如图，在ABC△中，20cmAB，12cmAC，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）QCBPAA．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒【答案】D2.【易】（延庆县2012年初三第二次模拟试卷）如图：等边ABC△中，边长3AB，点D在线段BC上，点E在射线AC上，点D沿BC方向从B点以每秒1个单位的速度向终点C运动，点E沿AC方向从A点以每秒2个单位的速度运动，当D点停止时E点也停止运动，设运动时间为t秒，若D、E、C三点围成的图形的面积为y来表示，则y与t的图象是（）EDCBAOxy12243Oxy12243Oxy1224334221yxOABCD2/55【答案】B3.【易】（2010年河南中考模拟题5）在ABC△中，6AB，8AC，10BC，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．PCBMFEA【答案】2.44.【易】（2011广州初二中段模拟考试）如图所示，正三角形ABD和正三角形CBD的边长均为a，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AECFa，随着E、F的移动，BEF△的形状改变吗？试说明理由．【答案】BEF△为正三角形，证明：∵AECFa，AEEDa，∴DECF，在BDE△和BCF△中，60BDBCBCFBDEDECF∴BDEBCF△≌△，∴BEBF，CBFDBE，又∵60CBFFBD，∴60FBDDBE，∴BEF△为等边三角形．5.【易】（2011深圳外国语分校初一下期末）如图，在ABC△中，2ABAC，40B，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作40ADE，DE交线段AC于E．⑴当115BDA时，DEC；点D从B向C运动时，BDA逐渐变（填“大”或“小”）；3/55⑵在点D的运动过程中，ADE△的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA的度数．若不可以，请说明理由．CEDBA40°40°【答案】⑴115；小．⑵当ABDDCE△≌△时，DCAB，∵2AB，∴2DC，∴当DC等于2时，ABDDCE△≌△．⑶∵ABAC，∴40BC，①当ADAE时，40ADEAED，∵AEDC，∴此时不符合；②当DADE时，即118040702DAEDEA，∵1804040100BAC，∴1007030BAD，∴1803040110BDA；③当EAED时，40ADEDAE，∴1004060BAD，∴180604080BDA；当110ADB或80时，ADE△是等腰三角形．6.【易】（2010年北京北师大附中期末练习）已知：如图，ABC△中，8cmABAC，6cmBC，BC，点D为AB的中点，如果P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，与此同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相同，是否会出现某一时刻BPM△与CPQ△全等的情况？为什么？（若不能全等，说明理由；若能够全等，求出这个时刻）．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相同，是否会出现某一时刻BPM△与CPQ△全等的情况？为什么？（若不能全等，说明理由；若能够全等，求出这个时刻以及Q点的运动速度．）CBA4/55【答案】⑴经过1秒后，3cmPB，5cmPC，3cmCQ，QPABCD图2图1DCBA∵ABC△中，ABAC，∴ABCACB，且BDPC，BPCQ，∴BPDCQP△≌△（SAS）．⑵设点Q的运动速度为3cm/sxx，经过tsBPD△与CQP△全等；则可知3cmPBt，83cmPCt，cmCQxt，∵ABAC，∴BC，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BDPC，BPCQ时，②当BDCQ，BPPC时，两三角形全等；①当BDPC且BPCQ时，835t且3txt，解得3x，∵3x，∴舍去此情况；②BDCQ，BPPC时，5xt且383tt，解得：154x；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为15cm/s4时，能够使BPD△与CQP△全等．7.【易】（本溪市初中毕业生学业考试）在ABC△中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧．．作ADE△，使ADAE，DAEBAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果90BAC，则BCE（）度；（2）设BAC，BCE．①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；5/55②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案】⑴90．⑵①180．理由：∵BACDAE，∴BACDACDAEDAC．即BADCAE．又ABAC，ADAE，∴ABDACE△≌△．∴BACE．∴BACBACEACB．∴BACB．∵180BACB，∴180．②当点D在射线BC上时，180，当点D在射线BC的反向延长线上时，．8.【中】（北京十二中初二下学期月考考试数学试题）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN△为等边三角形（点M的位置改变时，DMN△也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．AEEACCDDBB图1图2AA备用图BCBC备用图6/55图①图②图③ADMBNFECCEFNBMDAADBFEC【答案】⑴判断：EN与MF相等（或ENMF），点F在直线NE上，⑵成立．方法一：连接DE，DF．∵ABC△是等边三角形，∴ABACBC又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线、∴DEDFEF，60FDE又60MDFFDN，60NDEFDN，∴MDFNDE在DMF△和DNE△中，DFDE，DMDN，MDFNDE，∴DMFDNE△≌△，∴MFNE．方法二：连接DF，NF，∵ABC△是等边三角形，∴ABBCAC，又∵D，E，F是三边的中点，∴DF为三角形的中位线，∴1122DFACABDB又60BDMMDF，60NDFMDF，∴BDMFDN．在DBM△和DFN△中，DFDB，DMDN，BDMNDF，∴DBMDFN△≌△．∴60BDFN又∵DEF△是ABC△各边中点所构成的三角形，∴60DFE．∴可得点N在EF上，∴MFEN．⑶如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MFNE成立）．9.【中】（北京八中2010-2011学年度第一学期期中练习）7/55已知如图，在RtABC△中，90C，3AC，5AB，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动；点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QBBCCP于点E．设点P、Q运动的时间是t秒0t．⑴当2t时，求AP的值及Q到AC的距离；⑵用S表示APQ△的面积，写出S与t的函数关系式；⑶在点E运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形时，t的值为多少．QDECPAB【答案】⑴∵2t，∴2CP，∵3AC，∴1AP，∵90C，3AC，5AB，∴4BC，设点Q到AC的距离是h，∴245h，∴85h．故答案为1；85；⑵如图1，作QFAC⊥于点F．∴AQFABC△∽△，∴QFAQBCAB，又AQCPt，∴3APt，22534BC，∴45QFt，∴45QFt，∴14325Stt，即22655Stt；8/55图2图1PBACEDQBACEDQ⑶能．①如图2，当DEQB∥时．∵DEPQ⊥，∴PQQB⊥，四边形QBED是直角梯形，此时90AQP．由APQABC△∽△，得AQAPACAB，∴335tt，解得98t；②如图3，当PQBC∥时，DEBC⊥，四边形QBED是直角梯形．此时70APQ．（分）由AQPABC△∽△，得AQAPABAC，即353tt．解得158t．综上，可知当98t或158时，四边形QBED能成为直角梯形．C(E)G图4PBAC(E)GDQ图5PBADQQDECABP图39/5510.【中】（2010•淄博）将一幅三角尺如图拼接：含30的三角尺（ABC△）的长直角边与含45角的三角尺（ACD△）的斜边恰好重合．已知23AB，P是AC上的一个动点．⑴当点P在ABC的平分线上时，求DP的长；⑵当点PDBC时，求此时PDA的度数；⑶当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点构成平行四边形的顶点Q恰好在BC边上，求出此时平行四边形DPBQ的面积．BACD【答案】在RtABC△中，23AB，30BAC，∴3BC，3AC．⑴如图1，作DFAC⊥．∵RtACD△中，ADCD，∴32DFAFCF，∵BP平分ABC，∴30PBC，∴tan301CPBC，∴12PF，∴22102DPPFDF．FPFP图1图2DCABBACD⑵当P点位置如图2所示时，根据⑴中结论，32DF，45ADF，又∵3PDBC，∴3cos2DFPDFPD，10/55∴30PDF，∴15PDAADFPDF．当P点位置如图3所示时，同⑵可得30PDF，∴75PDAADFPDF．故PDA的度数为15或75；⑶当点P运动到边AC中点（如图4），即32CP时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．∵四边形DPBQ为平行四边形，∴BCDP∥，∵90ACB，∴90DPC，即DPAC⊥．而在RtABC△中，23AB，3BC，∴根据勾股定理得：3AC，∵DAC△为等腰直角三角形，∴1322DPCPAC，∵BCDP∥，∴PC是平行四边形DPBQ的高，∴94DPBQSDPCP平行四边形．QP图4BACDDCAB图3PF11.【中】（虹口区2011学年度第一学期初三年级数学学科）如图10，已知//AMBN，90AB，4AB，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），联结DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，联结DC．设AEx，BCy．（1）当1AD时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，联结EF，若2.5EF，求AE的长；（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件ADD